Soluzioni
  • In generale si parla di angoli formati da due rette nello spazio. Gli angoli tra due rette sghembe sono definiti come i due angoli convessi tra due qualsiasi vettori direzione delle due rette, dunque a prescindere dall'orientazione delle rette e dai versi dei vettori direttori.

    Fissiamo un sistema di riferimento cartesiano ortonormale RC(O,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}).

    Se r,s sono entrambe rette orientate dello spazio, indicando con

    \mathbf{v}_r=(l,m,n)\ \ \ ;\ \ \ \mathbf{v}_s=(l',m',n')

    due vettori direttori concordi alle orientazioni di r, s, l'angolo formato dalle due rette è univocamente determinato e si calcola con la formula

    \cos(\widehat{rs})=\frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}

    Se invece le due rette non sono orientate, detti

    \mathbf{v}_r=(l,m,n)\ \ \ ;\ \ \ \mathbf{v}_s=(l',m',n')

    rispettivamente due qualsiasi vettori direttori di r e di s, non possiamo fare altro che calcolare entrambi gli angoli convessi formati dalle due rette. Tali angoli sono supplementari tra loro e dati dalla formula:

    \cos((\widehat{rs})_{1,2})=\pm \frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \pm \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}

    Osservazione (angoli tra rette sghembe, senza un punto di intersezione?)

    Poiché due rette sghembe per definizione non sono complanari e men che meno incidenti, a priori non avrebbe senso parlare di angoli tra rette sghembe.

    In questo senso è importante notare che la definizione di angolo tra rette come angolo tra vettori (direttori) ci toglie dai pasticci, perché un angolo tra due vettori per definizione si ottiene applicando gli stessi in un medesimo punto.

    Da un punto di vista geometrico, per comodità, possiamo immaginare gli angoli tra due rette sghembe r, s come gli angoli tra le rette complanari r', s, dove r' è la proiezione ortogonale di r sul piano \pi contenente s e parallelo a r.

    Esempio (calcolare l'angolo tra due rette sghembe)

    Date le rette

    r:\ \begin{cases}x=3+t \\ y=-1+t \\ z=2t \end{cases}\ \ ; \ \ s:\ \begin{cases}x=1-t \\ y=2t \\ z=-2+t\end{cases}

    verifichiamo dapprima che sono sghembe, per poi calcolare l'angolo (o gli angoli?...) formato da esse.

    Svolgimento: poiché disponiamo delle equazioni parametriche è immediato scrivere i rispettivi vettori direzione

    \\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(-1,2,1)

    e le coordinate di due punti appartenenti alle rette

    \\ P_r(x_0,y_0,z_0)=(3,-1,0) \in r \\ \\ P_s(x_0',y_0',z_0')=(1,0,-2) \in s

    Per stabilire se sono rette sghembe è sufficiente calcolare il determinante della matrice

    \\ A=\begin{pmatrix}x_0-x_0' & y_0-y_0' & z_0-z_0' \\ l&m&n \\ l'&m'&n'\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}3-1 & -1-0 & 0-(-2) \\ 1&1&2 \\ -1&2&1\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = \begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 1&1&2 \\ -1&2&1\end{pmatrix}

    Se il determinante è diverso da zero ne consegue che r, s sono sghembe, in caso contrario sono rette complanari.

    Procedendo con la regola di Sarrus è immediato verificare che

    \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 1&1&2 \\ -1&2&1\end{pmatrix}=3 \neq 0

    dunque siamo in presenza di due rette sghembe.

    Il testo dell'esercizio apparentemente non si esprime circa l'orientazione delle rette; a ben vedere però fornisce una rappresentazione parametrica per ciascuna delle due rette.

    Ogni retta nello spazio può essere rappresentata mediante infinite parametrizzazioni, e ciascuna di esse individua implicitamente un'orientazione per la retta. Quale? Quella determinata dal verso del vettore direttore associato alla specifica rappresentazione della retta:

    \\ \mathbf{v}_r=(l,m,n)=(1,1,2) \\ \\ \mathbf{v}_s=(l',m',n')=(-1,2,1)

    Ogni vettore in un sistema di riferimento cartesiano ortonormale è infatti caratterizzato da un modulo, una direzione e un verso.

    Nell'esempio possiamo dunque ricorrere alla formula:

    \cos(\widehat{rs})=\frac{\mathbf{v}_r \cdot \mathbf{v}_s}{||\mathbf{v}_r|| \ ||\mathbf{v}_s||} = \frac{ll'+mm'+nn'}{\sqrt{l^2+m^2+n^2} \ \sqrt{l'^2+m'^2+n'^2}}

    e sostituire le componenti dei vettori direzione forniti dalle rappresentazioni parametriche

    \\ \cos(\widehat{rs}) = \frac{(1)(-1)+(1)(2)+(2)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \ \sqrt{(-1)^2+2^2+1^2}} = \\ \\ \\ = \frac{-1+2+2}{\sqrt{6} \ \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{36}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

    Abbiamo così ottenuto un'equazione goniometrica elementare

    \cos(\widehat{rs})=\frac{1}{2}

    e poiché dobbiamo calcolare l'angolo convesso formato dalle due rette orientate, ci limitiamo alle soluzioni nell'intervallo [0,\pi]

    \widehat{rs}=\frac{\pi}{3}

    ***

    Per tutti gli approfondimenti teorici: angolo tra rette nello spazio.

    Risposta di Galois
 
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