Soluzioni
  • Una piramide quadrangolare regolare (click per formule e disegno) è, come hai correttamente osservato, una piramide con base un quadrato.

    In generale, se in un problema l'unico dato che hai è la misura del lato di base, non puoi risolverlo.

    Per capire il perché, disegna un quadrato, prendi il centro del quadrato e fai passare per il centro del quadrato una retta verticale, perpendicolare al piano del lato. Da ogni punto di questa retta puoi tracciare i segmenti che lo congiungono ai vertici del quadrato, e ottenere infinite piramidi che hanno altezze diverse (e quindi apotemi diversi), ma uguale lato di base.

    Questo non è comunque il caso del problema che hai proposto. Vediamo come risolverlo e per cominciare riassumiamo i dati:

    \begin{cases}A_{solido}=760\ cm^2\\ A_{faccia}=100\ cm^2\end{cases}

    Il solido in questione è formato da un cubo con 5 facce libere. Sulla sesta faccia è appoggiata una piramide quadrangolare regolare la cui base, un quadrato, coincide con la sesta faccia del cubo.

    Per prima cosa dobbiamo calcolare l'area laterale della piramide come differenza tra la superficie totale e 5 volte l'area della faccia del cubo

    A_{lat}=A_{solido}-5\times A_{faccia}=760-500=260\ cm^2

    Ora, dalle formule della piramide, sappiamo che l'area della superficie laterale è il semiprodotto tra il perimetro di base e l'apotema

    A_{lat}=\frac{2p\times a}{2}

    A noi interessa la formula inversa per calcolare l'apotema

    a=\frac{2\times A_{lat}}{2p}

    Il perimetro di base della piramide è il perimetro del quadrato. Se chiamiamo \ell il lato del quadrato di base, dobbiamo tenere conto che esso è semplicemente lo spigolo del cubo

    \ell=\sqrt{A_{faccia}}=\sqrt{100}=10

    Quindi il perimetro di base è

    2p=4\times \ell=4\times 10=40\ cm

    e quindi l'apotema è dato da

    a=\frac{2\times A_{lat}}{2p}=\frac{2\times 260}{40}=13\ cm

    Per calcolare la misura dell'altezza della piramide usiamo il teorema di Pitagora considerando il triangolo rettangolo costruito sull'apotema e sull'altezza della piramide

    h=\sqrt{a^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\ cm

    Ora abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare il volume della piramide quadrangolare regolare

    V_{piramide}=\frac{S_b\times h}{3}=\frac{100\times 12}{3}=400\ cm^2

    Il volume del cubo è dato da

    V_{cubo}=\ell^3=10^3=1000\ cm^3

    ed il volume del solido è dato da

    V_{solido}=V_{piramide}+V_{cubo}=400+1000=1400\ cm^3

    Non ci resta che calcolare il peso del solido. Per farlo dobbiamo usare una delle formule inverse del peso specifico

    P_{solido}=V_{solido}\times P_s

    e tenere conto che il peso specifico del legno è 0,75

    P_{solido}=V_{solido}\times P_s=1400\times 0,75=1050

    Attenzione: purtroppo è brutta abitudine dei libri di testo non riportare l'unità di misura del peso specifico, ed è nostro preciso compito capire a posteriori quale sia la misura del risultato per il peso.

    Se l'unità di misura del peso specifico non viene specificata essa può essere sottintesa come kg/dm3 o come g/cm3. Queste due unità di misura sono equivalenti.

    Poiché il nostro dato per il volume è espresso in cm3, il peso specifico deve essere espresso in g/cm3 e dunque il risultato sul peso deve essere espresso in grammi.

    P_{solido}=1050\ g

    Tutte le considerazioni relative al peso specifico sono spiegate nel dettaglio nella lezione del link. ;)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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