Soluzioni
  • Ciao Nepero :) nel frattempo ti ho risposto "di là": se è tutto ok, dimmelo qui e procediamo con questa.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ti ho risposto anche io e ti ho confermato la domanda così possiamo procedere con questa
    Risposta di Nepero
  • Però non hai visto la mia ultima replica...Wink

    Risposta di Omega
  • Si ma preferirei vedere questa così posso confrontare e capire meglio se e possibile
    Risposta di Nepero
  • Certo, era solo perché immaginavo che non tu non avessi letto l'ultima replica Wink

    Nel caso della successione di funzioni

    f_n(x)=e^{-nx}

    che riscriviamo nella forma

    f_{n}(x)=\frac{1}{e^{nx}}

    per valutare la convergenza puntuale della successione di funzioni, fissiamo x preventivamente e valutiamo il limite della corrispondente successione numerica al tendere di n\to +\infty.

    Se fissiamo x<0, la successione (numerica) non converge, e per vederlo possiamo riscriverla nella forma

    f_n(x)=e^{n(-x)}

    dove nella nostra ipotesi -x è positivo, quindi e^{n(-x)}\to +\infty per n\to +\infty.

    Nel caso in cui x=0, abbiamo una successione numerica di soli 1, mentre se x>0 abbiamo convergenza puntuale a f(x)=0. Per vederlo, riscriviamo la successione nella forma

    f_{n}(x)=\left(\frac{1}{e^{x}}\right)^n

    dove 1/e^x \in (0,1).

    ---

    Passiamo alla convergenza uniforme: fissiamo n e determiniamo il

    sup_{x> 0}{|f_n(x)-f(x)|}

    cioè

    sup_{x> 0}{|e^{-nx}|}=1

    questo perché tutte le funzioni della successione valgono 1 in x=0, dunque 1 è l'estremo superiore dei valori assunti dalle successioni della funzione sull'insieme \{x>0\}. Ciò è dovuto al fatto che le funzioni della successione sono decrescenti 8per vederlo puoi calcolare la derivata prima di f'_n(x), con n fissato, e studiarne il segno).

    Passando la limite per n\to +\infty sull'estremo superiore:

    \lim_{n\to +\infty}sup_{x> 0}{|e^{-nx}|}=1\neq 0

    quindi la successione di funzioni non converge uniformemente a f(x)=0 sull'insieme \{x>0\}.

    Se però consideriamo un insieme della forma \{x\geq a\} con a>0, si vede che la successione di funzioni converge uniformemente a f(x)=0 (è sufficiente ragionare come sopra, calcolando il sup e passando al limite in n).

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi