Esercizio completo sui fasci di circonferenze

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Buongiorno ho provato a svolgere un esercizio sui fasci di circonferenze che chiede di calcolare l'asse radicale, la circonferenza tangente a una retta e la circonferenza che stacca una corda su un'altra retta. Però avrei bisogno del vostro aiuto!

 

Si consideri il fascio determinato dalle due circonferenze x^2+y^2-2x+2y-8 = 0 e x^2+y^2-4x-2y = 0

 

1) Scrivere l'equazione dell'asse radicale.

 

Per farlo ho messo a sistema le due circonferenze, ho risolto con il metodo di riduzione e mi trovo x+2y-4 = 0, visto che il libro non ha messo il risultato vorrei sapere se ho fatto bene.

 

2) Trovare l'equazione della circonferenza del fascio tangente alla retta x-2y-4 = 0

 

Qui ho messo a sistema x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y) = 0 con la retta x-2y-4 = 0 solo che dopo aver fatto i calcoli mi viene 5y^2+14y+5y^2k+6yk = 0 e non so come ricavarmi k per poi sostituirla nel fascio, il risultato è 2x^2+2y^2-11x-10y+12 = 0.

Magari ho sbagliato il procedimento perciò non mi trovo.

 

3) Trovare l'equazione della circonferenza del fascio che stacca sulla retta x-y-4 = 0 una corda di misura 5√(2) (non ho idea di come si faccia).

 

4) Trovare l'equazione della circonferenza del fascio che interseca del sistema di riferimento in punti che determinano un quadrilatero la cui area misura 70. (anche in questo punto non so proprio cosa fare)

 

Grazie :)

Domanda di Francesca

 
Soluzioni

  • Ok, iniziamo:

    x^2+y^2-2x+2y-8 = 0 ; x^2+y^2-4x-2y = 0

    Sottraendo membro a membro abbiamo:

    -2x+4x+4y-8 = 0 ⇔ 2x+4y-8 = 0 ⇔ x+2y-4 = 0 

    Quindi l'asse radicale è corretto.

     

    Mettiamo a sistema l'equazione del fascio e l'equazione della retta:

    x^2+y^2-2x+2y-8+k(x^2+y^2-4x-2y) = 0 ; x-2y-4 = 0

    Da cui otteniamo:

    (k+1)x^2+(k+1)y^2-2x-4kx+2y-2k y-8 = 0 ; x-2y-4 = 0

    scritto ancora meglio:

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8 = 0 ; x-2y-4 = 0

    Dalla seconda equazione isoliamo x

    x = 2y+4

    Sostituiamo nella prima equazione ottenendo:

    (k+1)(2y+4)^2+(k+1)y^2+(-2-4k)(2y+4)+(2-2k)y-8 = 0

    Facendo i conti otterrai l'equazione:

    (5k+5)y^2+(14+6k)y = 0

    A questo punto determina il discriminante:

    Δ = (14+6k)^2

    Imponi che sia uguale a zero:

    Δ = 0 ⇔ (6k+14)^2 = 0 ⇔ 6k+14 = 0 ⇔ 6k = -14 ⇔ k = -(7)/(3)

    Sostituendo otterrai 

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8 = 0 ⇔ 2x^2+2y^2-11x-10 y+12 = 0

     

    Abbiamo visto che il fascio ha equazione:

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8 = 0

    Dividendo per k+1 membro a membro otteniamo:

    x^2+y^2+(-2-4k)/(k+1)x+(2-2k)/(k+1)-(8)/(k+1) = 0

    Che è l'equazione della circonferenza scritta in forma canonica.

    Le coordinate del centro sono:

    C(-(-2-4k)/(2(k+1)),-(2-2k)/(2(k+1))) =

    C((1+2k)/(k+1), (k-1)/(k+1))

    Il raggio della circonferenza è:

    r = √(((1+2k)/(k+1))^2+((k-1)/(k+1))^2+(8)/(k+1)) =

    √((5(2+2k+k^2))/((1+k)^2))

    Troviamo la distanza tra il centro e la retta r: x-y-4=0, usando la formula per la distanza di un punto da una retta

    dist = (|(1+2k)/(k+1)-(k-1)/(k+1)-4|)/(√(1+1)) =

    (|-(2+3k)/(1+k)|)/(√(2))

    Considera ora il triangolo rettangolo che ha per cateti la distanza centro-retta e mezza corda, l'ipotenusa sarà il raggio. 

    Quindi:

    dist^2+(5^2√(2^2))/(2^2) = r^2 ⇔

    ((2+3k)^2)/(2(1+k)^2)+(25)/(2) = (5(2+2k+k^2))/((1+k)^2)

    Comunque facendo i conti otterrai l'equazione:

    (24k^2+42k+9)/(2(1+k)^2) = 0

    Le cui soluzioni sono:

    k_1 = -(3)/(2)

    k_2 = -(1)/(4)

     

    L'equazione della circonferenza per k_1 = -(3)/(2) è

    x^2+y^2-8x-10 y+16 = 0

    Per k_2 = -(1)/(4) ottieni:

    3x^2+3y^2-4x+10y-32 = 0

     

    Troviamo le intersezioni tra il fascio di circonferenze e il sistema di assi cartesiani:

    Asse X

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8 = 0 ; y = 0

    (k+1)x^2+(-2-4k)x-8 = 0 ; y = 0

    Risolvendo la prima equazione otterrai:

    x_1 = 4 , , x_2 = -(2)/(1+k)

    Asse Y

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8 = 0 ; x = 0

    (k+1)y^2+(2-2k)y-8 = 0 ; x = 0

    Risolvendo la prima equazione otterrai:

    y_1 = 2 , , y_2 = -(4)/(1+k)

    Osservando che la distanza tra i punti x1 e x2 e y1 e y2 rappresentano le diagonali (esse sono perpendicolari) di un quadrilatero.

    d = |x_1-x_2| = |4+(2)/(1+k)| = |(2(3+2k))/(1+k)|

    D = |y_1-y_2| = |2+(4)/(1+k)| = |(2(3+k))/(1+k)|

    Essendo le diagonali perpendicolari allora vale la relazione

    A = (D×d)/(2) = (1)/(2)(|4(3+2k)(3+k)|)/((1+k)^2)

    A = (D×d)/(2) = (|2(3+2k)(3+k)|)/((1+k)^2)

    Imponendo che sia uguale a 70

    abbiamo:

    A = (|2(3+2k)(3+k)|)/((1+k)^2) = 70

    Risolvendo l'equazione avrai che 

    k = -(13)/(11)

    k = -(2)/(3)

    Sostituendo avrai l'equazione della circonferenza. Che esercizio del pipappero! :D

    Risposta di Ifrit
 
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