Soluzioni
  • Ok, iniziamo:

    \begin{cases}x^2+y^2-2x+2y-8=0\\ x^2+y^2-4x-2y=0\end{cases}

    Sottraendo membro a membro abbiamo:

    -2x+4x+4y-8=0\iff  2x+4y-8=0\iff x+2y-4= 0 

    Quindi l'asse radicale è corretto.

     

    Mettiamo a sistema l'equazione del fascio e l'equazione della retta:

    \begin{cases}x^2+y^2-2x+2y-8+k( x^2+y^2-4x-2y)=0\\ x-2y-4=0\end{cases}

    Da cui otteniamo:

    \begin{cases}(k+1)x^2+(k+1)y^2-2x-4kx+2y-2k y-8=0\\ x-2y-4=0\end{cases}

    scritto ancora meglio:

    \begin{cases}(k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0\\ x-2y-4=0\end{cases}

    Dalla seconda equazione isoliamo x

    x= 2y+4

    Sostituiamo nella prima equazione ottenendo:

    (k+1)(2y+4)^2+(k+1)y^2+(-2-4k)(2y+4)+(2-2k)y-8=0

    Facendo i conti otterrai l'equazione:

    (5k+5)y^2+(14+6k)y=0

    A questo punto determina il discriminante:

    \Delta= (14+6k)^2

    Imponi che sia uguale a zero:

    \Delta=0\iff (6k+14)^2=0\iff  6k+14= 0\iff 6k = -14\iff k= -\frac{7}{3}

    Sostituendo otterrai 

    (k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0\iff 2x^2+2y^2-11x-10 y+12=0

     

    Abbiamo visto che il fascio ha equazione:

    (k+1)x^2+ (k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0

    Dividendo per k+1 membro a membro otteniamo:

    x^2+y^2+\frac{-2-4k}{k+1}x+\frac{2-2k}{k+1}-\frac{8}{k+1}=0

    Che è l'equazione della circonferenza scritta in forma canonica.

    Le coordinate del centro sono:

    C\left(-\frac{-2-4k}{2(k+1)}, -\frac{2-2k}{2(k+1)}\right)=

    C\left(\frac{1+2k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)

    Il raggio della circonferenza è:

    r= \sqrt{\left(\frac{1+2k}{k+1}\right)^2+\left(\frac{k-1}{k+1}\right)^2+\frac{8}{k+1}}=

    \sqrt{\frac{5(2+2k+k^2)}{(1+k)^2}}

    Troviamo la distanza tra il centro e la retta r: x-y-4=0, usando la formula per la distanza di un punto da una retta

    dist= \frac{|\frac{1+2k}{k+1}-\frac{k-1}{k+1}-4|}{\sqrt{1+1}}=

    \frac{\left|-\frac{2+3k}{1+k}\right|}{\sqrt{2}}

    Considera ora il triangolo rettangolo che ha per cateti la distanza centro-retta e mezza corda, l'ipotenusa sarà il raggio. 

    Quindi:

    dist^2+\frac{5^2\sqrt{2^2}}{2^2}= r^2\iff

    \frac{(2+3k)^2}{2(1+k)^2}+\frac{25}{2}= \frac{5(2+2k+k^2)}{(1+k)^2}

    Comunque facendo i conti otterrai l'equazione:

    \frac{24k^2+42k+9}{2(1+k)^2}=0

    Le cui soluzioni sono:

    k_1= -\frac{3}{2}

    k_2= -\frac{1}{4}

     

    L'equazione della circonferenza per k_1=-\frac{3}{2} è

    x^2+y^2-8x-10 y +16=0

    Per k_2=- \frac{1}{4} ottieni:

    3x^2+3y^2-4x+10y -32= 0

     

    Troviamo le intersezioni tra il fascio di circonferenze e il sistema di assi cartesiani:

    Asse X

    \begin{cases}(k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0\\ y=0\end{cases}

    \begin{cases}(k+1)x^2+(-2-4k)x-8=0\\ y=0\end{cases}

    Risolvendo la prima equazione otterrai:

    x_1= 4\,\, x_2=-\frac{2}{1+k}

    Asse Y

    \begin{cases}(k+1)x^2+(k+1)y^2+(-2-4k)x+(2-2k)y-8=0\\ x=0\end{cases}

    \begin{cases}(k+1)y^2+(2-2k)y-8=0\\ x=0\end{cases}

    Risolvendo la prima equazione otterrai:

    y_1= 2\,\, y_2= -\frac{4}{1+k}

    Osservando che la distanza tra i punti x1 e x2 e y1 e y2 rappresentano le diagonali (esse sono perpendicolari) di un quadrilatero.

    d= |x_1-x_2|= \left|4+\frac{2}{1+k}\right|=\left |\frac{2(3+2k)}{1+k}\right|

    D=|y_1-y_2|= \left|2+\frac{4}{1+k}\right|=\left|\frac{2(3+k)}{1+k}\right|

    Essendo le diagonali perpendicolari allora vale la relazione

    A= \frac{D\times d}{2}= \frac{1}{2}\frac{|4(3+2k)(3+k)|}{(1+k)^2}

    A= \frac{D\times d}{2}= \frac{|2(3+2k)(3+k)|}{(1+k)^2}

    Imponendo che sia uguale a 70

    abbiamo:

    A= \frac{|2(3+2k)(3+k)|}{(1+k)^2}=70

    Risolvendo l'equazione avrai che 

    k=-\frac{13}{11}

    k=-\frac{2}{3}

    Sostituendo avrai l'equazione della circonferenza. Che esercizio del pipappero! :D

    Risposta di Ifrit
 
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