Soluzioni
  • Ciao Ale92_ arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Oddio è una domanda da cento milioni di dollari. Spero di risponderti nel migliore dei modi.

    Per determinare la stima asintotica è assolutamente necessaria sapere a memoria tutti i limiti notevoli e tutti i limiti fondamentali. Lo sviluppo di Taylor interviene quando l'integrale è abbastanza tosto,  ma è utilissimo sapere gli sviluppi notevoli di McLaurin-Taylor delle funzioni elementari.

    Se conosci i limiti notevoli hai già le stime asintotiche gratis. Le tecniche per risolvere questo tipo di integrale si impara con la pratica :)

    So che non ho risposto a pieno alla tua domanda. Se hai un esercizio particolare possiamo discuterlo :)

    Risposta di Ifrit
  • Ok quindi limiti notevoli e Taylor...in particolare volevo chiederti una spiegazione di come hai trovato (una coincidenza che mi abbia risposto sempre tu) la funzione in questa domanda

    -> esercizio su integrale improprio con equivalenze asintotiche

    E' proprio pensando a quella funzione che ho aperto questa domanda...cioè non vedo come tu possa aver fatto usando Taylor o i limiti notevoli...

    Risposta di ale92_
  • Cominciamo nel determinare la funzione asintoticamente equivalente a 

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}

    nell'intorno  destro di 2.

    Lavoriamo quindi prima con il radicando: 

    x^2-x-2= (x-2)(1+x)

    Di conseguenza:

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-1}}

    si scrive come

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x-2}\sqrt{x+1}}\quad \forall x\textgreater 2

    Adesso quando x tende a due hai che:

    2x-1=3

    mentre

    \sqrt{x+1}= \sqrt{3}

    Non tocchiamo il termine

    \sqrt{x-2}

    Questo ci permette di concludere che:

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-1}}\sim_{2}\frac{1}{3\sqrt{3}\sqrt{x-2}}

     

    E' una tecnica che si usa spesso, anche se non si scrive mai :)

    Risposta di Ifrit
  • invece per quella nell'intorno di + infinito come hai fatto? sempre lo stesso ragionamento o comunque simile?

    Risposta di ale92_
  • Nell'intorno di più infinito hai:

    2x-1\sim_{\infty} 2x

    Lo puoi asserire perché quando x tende a più infinito il -1 è ininfluente.

    \sqrt{x^2-x-2}\sim_{\infty} \sqrt{x^2}= x

    In questo caso puoi asserire semplicemente che x^2 è un infinito di ordine superiore rispetto ad x quindi x + ininfluente, così come -2.

    Di conseguenza:

    \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}\sim_{\infty} \frac{1}{2x \cdot x}= \frac{1}{2x^2}.

    Risposta di Ifrit
 
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