Soluzioni
  • Ciao Nepero, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Consideriamo la successione di funzioni

    f_n(x)=x^n+1

    a meno di una traslazione sulle ordinate (+1), possiamo equivalentemente studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione

    f_n(x)=x^n

    Cominciamo con la convergenza puntuale: la successione di funzioni f_n(x)=x^n converge puntualmente solamente sull'intervallo (-1,1] (nota che l'estremo sinistro è escluso), infatti:

    se x>1 risulta che x^n\to_{n\to +\infty} +\infty

    se x\textless -1, al tendere di n\to +\infty la successione f_n(x) con x fissato oscilla illimitata

    se x=-1, la successione oscilla tra i valori \{-1,+1\}

    ---

    Abbiamo convergenza puntuale:

    - a f(x)=0 se x\in (-1,+1)

    - a f(1)=1 se x=1

    ---

    Per studiare la convergenza uniforme, ci limitiamo quindi all'intervallo (-1,+1), perché essendo la nostra successione di funzioni una successione di funzioni continue, se essa converge uniformemente deve necessariamente avere come limite una funzione continua. Questo ci porta ad escludere il punto x=1; d'altra parte, se una successione di funzioni non converge puntualmente non può nemmeno convergere uniformemente.

    ---

    Per valutare la convergenza uniforme su (-1,+1) dobbiamo fissare n e determinare il

    sup_{x\in (-1,+1)}{|f_{n}(x)-f(x)|}

    cioè, nel nostro caso

    sup_{x\in (-1,+1)}{|x^n|}

    Distinguiamo tra i casi n pari ed n dispari: in entrambi i casi, si vede subito che

    sup_{x\in (-1,+1)}{|x^n|}=+1

    Passando al limite per n\to +\infty sull'estremo superiore, ne deduciamo che

    \lim_{n\to +\infty}sup_{x\in (-1,+1)}{|f_{n}(x)-f(x)|}=1\neq 0

    motivo per il quale la successione di funzioni considerata non converge a zero uniformemente su (-1,+1).

    ---

    Se invece ripetessimo il ragionamento su un intervallo della forma [a,b] con -1\textless a\textless b\textless 1, avremmo convergenza uniforme per la successione di funzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Non ho capito convergenZa puntuale forse ci conviene provare con un esempio più facile che fa il libro apro una nuova discussoone
    Risposta di Nepero
  • In realtà questo esempio non è complicato: per valutare la convergenza puntuale di una successione di funzioni devi considerare x come una costante fissata e valutare il limite della successione in n, quindi devi solo calcolare il limite di una successione di numeri reali.

    Il punto è che Prima di calcolare il limite puoi prendere diversi valori di x: nel caso considerato abbiamo una potenza in n con base x. Se la base è compresa, in modulo, tra -1 e +1 allora sappiamo che potenze crescenti della base "spingono" il limite a zero; se invece la base è maggiore di +1, in modulo, allora al crescere dell'esponente cresce la potenza e dunque il limite è infinito.

    Così è più chiaro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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