Successioni estratte come funzioni composte

Ciao, in primis siamo contenti che YouMath ti piaccia.

Veniamo alla tua domanda. Una successione (numerabile) è naturalmente una applicazione dai naturali agli elementi di un insieme:

f:N→X

f:n→x_n

Che cos'è X? Boh, un insieme qualsiasi, dipende dalla successione che consideri. Ad esempio {n/2}_n può essere vista come una applicazione dai naturali ai razionali.

Se l'insieme X è generico, allora una sotto-successione (o successione estratta) la puoi vedere come la medesima applicazione f di partenza con dominio un sottoinsieme di N, e ciò che fai è semplicemente prendere alcuni numeri naturali (solo alcuni indici). Ma questo non serve e non basta a risolvere la tua domanda...

...perchè per risolverla è sufficiente considerare la sottosuccessione come una applicazione composta. Sì, è possibile! Vediamo come:

Prendiamo la successione {x_n}_n={1/n}_n, e la sua sottosuccessione {x_2n}={1/2n}_n. L'applicazione che definisce la successione di partenza è

N→R

n→1/n

Se vuoi vedere la sottosuccessione come funzione composta, semplicemente considera l'applicazione

N→N

n→2n

e la funzione composta che devi considerare è

N→N→R

n→2n→1/2n.

Quindi, parlando in soldoni e in generale: si, puoi vedere una sottosuccessione come funzione composta, ma la composizione va effettuata "alla partenza" e non "all'arrivo".

Nell'esempio che ti ho fatto è poi pure facile trovare un'espressione analitica semplice per la funzione di partenza (n→2n) a cui applicare la funzione della successione assegnata (n→1/n). Se prendi sottosuccessioni "strane" invece potrebbe non essere semplice scrivere la forma analitica della funzione che definisce la sottosuccessione. Ma di sicuro esiste......basta ragionare sugli indici e non sugli elementi x_n della successione.

Namastè - Agente Ω