Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Allora abbiamo:

    f(x)= \ln(x^2+4)\implies f'(x)= \frac{2x}{x^2+4}

    mentre

    g'(x)dx= x\implies g(x)dx= \frac{x^2}{2}dx

    Utizzando la formula di integrazione per parti abbiamo:

    \int_1^2 x\ln(x^2+4)dx= \left[\frac{x^2}{2}\ln(x^2+4)\right]_1^2-\int_1^2 \frac{x^3}{x^2+4}dx 

    A questo punto ci troviamo di fronte ad un integrale di una funzione razionale fratta il cui numeratore ha grado superiore al denominatore.


    Se posso permettermi, io avrei agito diversamente:

    \int_{1}^{2}x\ln(x^2+4)dx

    Integriamo per sostituzione ponendo:

    t= x^2+4\implies dt = 2xdx\implies xdx= \frac{dt}{2}

    Gli estremi diventano:

    t_1= 1+4= 5

    t_2= 2^2+4= 8

    Quindi l'integrale diventa:

    \int_{1}^{2}\ln(x^2+4)\overbrace{xdx}^{\frac{dt}{2}}=

    \int_5^8 \frac{\ln(t)}{2}dt=

    \frac{1}{2}\int_5^8 \ln(t)dt=

    Per parti:

    \frac{1}{2}\int_5^8 \ln(t)dt=\frac{1}{2}\left[t\ln|t|-t\right]_5^8=

    \frac{1}{2}\left[8\ln(8 )-8-5\ln(5)+5\right]=

    4\ln(8 )-\frac{5}{2}\ln(5)-3

    che è lo stesso risultato :)

    Risposta di Ifrit
 
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