Soluzioni
  • Ciao nea16 arrivo :D

    Dammi solo qualche momento in più :)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione:

    f(x, y)= 2x^2+2y^2+2-x^4-y^4

    La prima cosa da fare è osservare che la funzione è continua e derivabile (è una funzione polinomiale).

    Calcoliamo le derivate parziali:

    \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)= 4x-4x^3

    \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= 4y-4y^3

     

    Determiniamo i valori per i quali le derivate parziali contemporaneamente nulle, cioè imponiamo il sistema:

    \begin{cases}\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\end{cases}

     

    otteniamo quindi:

    \begin{cases}4x-4x^3=0\\4y-4y^3=0\end{cases}

    Risolvendo il sistema abbiamo i punti:

    x_1=-1, x_2= 0, x_3= 1

    y_1= -1, y_2= 0, y_3= 1

    I potenziali punti di massimo o di minimo relativo sono:

    A_{1}(-1, -1), A_2(-1, 0), A_3(-1, 1)

    B_1(0, -1), B_2(0, 0), B_3(0,1)

     C_1(1, -1), C_2(1, 0), C_3(1, 1)

    Valutiamo le derivate del secondo ordine:

    f_{xx}(x, y)= 4-12x^2

    f_{yy}(x, y)= 4-12y^2

    f_{x y}(x, y)=0

    A questo punto costruisci l'Hessiana:

    H_{f}(x, y)= \begin{pmatrix}4-12x^2 & 0\\ 0& 4-12y^2\end{pmatrix}

     

    Il cui determinante  è:

    \mbox{det}(H_{f}(x, y))=(4-12x^2)(4-12y^2)

    Cominciamo con la classificazione:

    f_{xx}(A_1)= 4-12= -8\textless 0 mentre

    \mbox{H_{f}(A_1)}=(-8 )(-8 )= 64\textgreater 0

    Quindi abbiamo un punto di massimo relativo.

    Fin qui tutto chiaro?

    Risposta di Ifrit
  • sii , puoi fare il punto B2( 0,0) dove il determinante hesiana è 0 ho fatto f(x,y)-f(x0y0) per determinare la natura del pto critico (com'è il segno) . puoi dirmi questi pasaggi perfavore :D

    Risposta di nea16
  • Attenta che per B2 il determinante dell'Hessiana non è zero (a meno che non abbia sbagliato i conti prima, hai controllato? Embarassed)

    Secondo i miei conti  per 

    B_2(0,0)

    abbiamo che:

    f_{x x}(0,0)= 4\textgreater 0

    L'Hessiano invece è:

    \mbox{ det}(H_f)(0,0)= 16\textgreater 0

    Quindi il punto B2 è un punto di minimo relativo :)

    Risposta di Ifrit
  • è vero, ho sbagliato io  Embarassed non avevo visto il 4 :D , ci sono dei pti nei quali è 0? controllo i conti e poi si ho dubbi posso chiedere ancora? . Grazie :)

    Risposta di nea16
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