Soluzioni
  • Consideriamo l'integrale

    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\tan(x)}{1+\cos^2(x)}dx=

    La prima cosa che possiamo fare è utilizzare la definizione di tangente e scrivere

    \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}

    ossia la tangente è il rapporto tra seno e coseno.

    L'integrale diventa

    \\ (\bullet)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1+\cos^2(x)}dx= \\ \\ \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\sin(x)}{\cos(x)(1+\cos^2(x))}dx=

    A questo punto possiamo pensare di procedere integrando per sostituzione, ponendo

    t=\cos(x)\implies dt=-\sin(x)dx

    Quando effettuiamo una sostituzione negli integrali definiti, devono essere cambiati anche gli estremi di integrazione:

    - a x_0=0 associamo t_0=\cos(0)=1

    - a x_1=\frac{\pi}{4} associamo t_1=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Attenzione: è importante conoscere i valori noti del coseno (per approfondire - valori delle funzioni goniometriche), altrimenti non è possibile conoscere il secondo estremo di integrazione.

    Grazie alla sostituzione, l'integrale diventa

    (\bullet)=\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{-3}{t(1+t^2)}dt=

    che per le proprietà degli integrali (in particolare l'omogeneità) diventa

    =-3\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t(1+t^2)}dt=(\bullet)

    Osserviamo che grazie alla sostituzione trigonometrica, siamo passati da un integrale di funzioni trigonometriche ad un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.

    Inneschiamo il metodo dei fratti semplici, notando che il denominatore è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili:

    - al fattore t associamo il fratto semplice \frac{A}{t};

    - al fattore 1+t^2 associamo il fratto semplice \frac{Bt+C}{t^2+1}.

    Il nostro intento ora è quello di determinare i numeri reali A\mbox{ e }B tali che

    \frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{1+t^2}

    che scrivendoli con lo stesso denominatore

    \frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{A+At^2+Bt^2+Ct}{t(1+t^2)}

    Semplifichiamo il denominatore così da ottenere

    1=A+At^2+Bt^2+Ct

    e raccogliamo parzialmente secondo le potenze di t al secondo membro:

    1=(A+B)t^2+Ct+A

    Il principio di identità dei polinomi permette di costruire il seguente sistema lineare, mediante il quale è possibile determinare i numeri reali.

    \begin{cases}A+B=0\\ C=0\\ A=1\end{cases}

    I numeri reali che soddisfano il sistema sono A=1,\ B=-1, \ C=0 pertanto

    \frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{1}{t}-\frac{t}{1+t^2}

    e l'integrale diventa

    (\bullet)=-3\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(\frac{1}{t}-\frac{t}{1+t^2}\right)dt=

    che per la linearità dell'integrale definito si scrive come segue

    =-3\left(\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t}dt-\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{t}{1+t^2}dt\right)=(\bullet)

    Osserviamo che il primo è un integrale fondamentale, che risulta essere un logaritmo a meno di costanti additive:

    \\ \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t}dt=\left[\ln(|t|)\right]_{t=1}^{t=\frac{\sqrt{2}}{2}}= \\ \\ \\ =\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\ln(1)=\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

    Il secondo integrale è riconducibile ad un integrale fondamentale in forma generale a patto di moltiplicare e dividere per 2

    \\ \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{t}{1+t^2}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{2t}{1+t^2}dt=

    Il numeratore è la derivata del denominatore

    =\left[\frac{1}{2}\ln(|1+t^2|)\right]_{t=1}^{t=\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)

    A questo punto è solo una questione di conti: l'integrale di partenza ha per risultato la somma algebrica dei contributi dei singoli integrali

    \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\tan(x)}{1+\cos^2(x)}dx=-3\left(\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)\right)=

    che grazie alle proprietà dei logaritmi si scrive come

    \\ =-3\left(\frac{1}{2}\ln(2)-\ln(2)+\frac{1}{2}\left(\ln(4)-\ln(3)\right)\right)= \\ \\ \\ = -3\left(\frac{1}{2}\ln(2)-\ln(2)+\ln(2)-\frac{1}{2}\ln(3)\right)= \\ \\ \\ =-3\left(\frac{\ln(2)}{2}-\frac{\ln(3)}{2}\right)= \\ \\ \\ = -\frac{3}{2}\ln\left(\frac{2}{3}\right)

    L'esercizio è finalmente concluso.

    Risposta di Ifrit
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