Consideriamo l'integrale
La prima cosa che possiamo fare è utilizzare la definizione di tangente e scrivere
ossia la tangente è il rapporto tra seno e coseno.
L'integrale diventa
A questo punto possiamo pensare di procedere integrando per sostituzione, ponendo
Quando effettuiamo una sostituzione negli integrali definiti, devono essere cambiati anche gli estremi di integrazione:
- a
associamo
- a
associamo
Attenzione: è importante conoscere i valori noti del coseno (per approfondire - valori delle funzioni goniometriche), altrimenti non è possibile conoscere il secondo estremo di integrazione.
Grazie alla sostituzione, l'integrale diventa
che per le proprietà degli integrali (in particolare l'omogeneità) diventa
Osserviamo che grazie alla sostituzione trigonometrica, siamo passati da un integrale di funzioni trigonometriche ad un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.
Inneschiamo il metodo dei fratti semplici, notando che il denominatore è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili:
- al fattore
associamo il fratto semplice
;
- al fattore
associamo il fratto semplice
.
Il nostro intento ora è quello di determinare i numeri reali
tali che
che scrivendoli con lo stesso denominatore
Semplifichiamo il denominatore così da ottenere
e raccogliamo parzialmente secondo le potenze di
al secondo membro:
Il principio di identità dei polinomi permette di costruire il seguente sistema lineare, mediante il quale è possibile determinare i numeri reali.
I numeri reali che soddisfano il sistema sono
pertanto
e l'integrale diventa
che per la linearità dell'integrale definito si scrive come segue
Osserviamo che il primo è un integrale fondamentale, che risulta essere un logaritmo a meno di costanti additive:
Il secondo integrale è riconducibile ad un integrale fondamentale in forma generale a patto di moltiplicare e dividere per
Il numeratore è la derivata del denominatore
A questo punto è solo una questione di conti: l'integrale di partenza ha per risultato la somma algebrica dei contributi dei singoli integrali
che grazie alle proprietà dei logaritmi si scrive come
L'esercizio è finalmente concluso.
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