Calcolo di un integrale definito trigonometrico

Volevo chiedere come risolvere un integrale definito con funzioni trigonometriche come questo

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\tan(x)}{1+\cos^2(x)}dx$

Grazie mille!

Domanda di Nicoló

Soluzioni

Consideriamo l'integrale
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\tan(x)}{1+\cos^2(x)}dx=$
La prima cosa che possiamo fare è utilizzare la definizione di tangente e scrivere
$\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
ossia la tangente è il rapporto tra seno e coseno.
L'integrale diventa
$\\ (\bullet)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}{1+\cos^2(x)}dx= \\ \\ \\ =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\sin(x)}{\cos(x)(1+\cos^2(x))}dx=$
A questo punto possiamo pensare di procedere integrando per sostituzione, ponendo
$t=\cos(x)\implies dt=-\sin(x)dx$
Quando effettuiamo una sostituzione negli integrali definiti, devono essere cambiati anche gli estremi di integrazione:
- a associamo $t_0=\cos(0)=1$
- a $x_1=\frac{\pi}{4}$ associamo $t_1=\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Attenzione: è importante conoscere i valori noti del coseno (per approfondire - valori delle funzioni goniometriche), altrimenti non è possibile conoscere il secondo estremo di integrazione.
Grazie alla sostituzione, l'integrale diventa
$(\bullet)=\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{-3}{t(1+t^2)}dt=$
che per le proprietà degli integrali (in particolare l'omogeneità) diventa
$=-3\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t(1+t^2)}dt=(\bullet)$
Osserviamo che grazie alla sostituzione trigonometrica, siamo passati da un integrale di funzioni trigonometriche ad un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.
Inneschiamo il metodo dei fratti semplici, notando che il denominatore è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili:
- al fattore associamo il fratto semplice $\frac{A}{t}$ ;
- al fattore associamo il fratto semplice $\frac{Bt+C}{t^2+1}$ .
Il nostro intento ora è quello di determinare i numeri reali $A\mbox{ e }B$ tali che
$\frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{A}{t}+\frac{Bt+C}{1+t^2}$
che scrivendoli con lo stesso denominatore
$\frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{A+At^2+Bt^2+Ct}{t(1+t^2)}$
Semplifichiamo il denominatore così da ottenere
e raccogliamo parzialmente secondo le potenze di al secondo membro:
Il principio di identità dei polinomi permette di costruire il seguente sistema lineare, mediante il quale è possibile determinare i numeri reali.
$\begin{cases}A+B=0\\ C=0\\ A=1\end{cases}$
I numeri reali che soddisfano il sistema sono $A=1,\ B=-1, \ C=0$ pertanto
$\frac{1}{t(1+t^2)}=\frac{1}{t}-\frac{t}{1+t^2}$
e l'integrale diventa
$(\bullet)=-3\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(\frac{1}{t}-\frac{t}{1+t^2}\right)dt=$
che per la linearità dell'integrale definito si scrive come segue
$=-3\left(\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t}dt-\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{t}{1+t^2}dt\right)=(\bullet)$
Osserviamo che il primo è un integrale fondamentale, che risulta essere un logaritmo a meno di costanti additive:
$\\ \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{t}dt=\left[\ln(|t|)\right]_{t=1}^{t=\frac{\sqrt{2}}{2}}= \\ \\ \\ =\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\ln(1)=\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Il secondo integrale è riconducibile ad un integrale fondamentale in forma generale a patto di moltiplicare e dividere per
$\\ \int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{t}{1+t^2}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int_{1}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{2t}{1+t^2}dt=$
Il numeratore è la derivata del denominatore
$=\left[\frac{1}{2}\ln(|1+t^2|)\right]_{t=1}^{t=\frac{\sqrt{2}}{2}}=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)$
A questo punto è solo una questione di conti: l'integrale di partenza ha per risultato la somma algebrica dei contributi dei singoli integrali
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3\tan(x)}{1+\cos^2(x)}dx=-3\left(\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{4}{3}\right)\right)=$
che grazie alle proprietà dei logaritmi si scrive come
$\\ =-3\left(\frac{1}{2}\ln(2)-\ln(2)+\frac{1}{2}\left(\ln(4)-\ln(3)\right)\right)= \\ \\ \\ = -3\left(\frac{1}{2}\ln(2)-\ln(2)+\ln(2)-\frac{1}{2}\ln(3)\right)= \\ \\ \\ =-3\left(\frac{\ln(2)}{2}-\frac{\ln(3)}{2}\right)= \\ \\ \\ = -\frac{3}{2}\ln\left(\frac{2}{3}\right)$
L'esercizio è finalmente concluso.
Risposta di Ifrit