Soluzioni
  • Consideriamo l'integrale

    ∫_(0)^((π)/(4))(3tan(x))/(1+cos^2(x))dx =

    La prima cosa che possiamo fare è utilizzare la definizione di tangente e scrivere

    tan(x) = (sin(x))/(cos(x))

    ossia la tangente è il rapporto tra seno e coseno.

    L'integrale diventa

     (•) = ∫_(0)^((π)/(4))(3·(sin(x))/(cos(x)))/(1+cos^2(x))dx = ∫_(0)^((π)/(4))(3sin(x))/(cos(x)(1+cos^2(x)))dx =

    A questo punto possiamo pensare di procedere integrando per sostituzione, ponendo

    t = cos(x) ⇒ dt = -sin(x)dx

    Quando effettuiamo una sostituzione negli integrali definiti, devono essere cambiati anche gli estremi di integrazione:

    - a x_0 = 0 associamo t_0 = cos(0) = 1

    - a x_1 = (π)/(4) associamo t_1 = cos((π)/(4)) = (√(2))/(2)

    Attenzione: è importante conoscere i valori noti del coseno (per approfondire - valori delle funzioni goniometriche), altrimenti non è possibile conoscere il secondo estremo di integrazione.

    Grazie alla sostituzione, l'integrale diventa

    (•) = ∫_(1)^((√(2))/(2))(-3)/(t(1+t^2))dt =

    che per le proprietà degli integrali (in particolare l'omogeneità) diventa

    = -3∫_(1)^((√(2))/(2))(1)/(t(1+t^2))dt = (•)

    Osserviamo che grazie alla sostituzione trigonometrica, siamo passati da un integrale di funzioni trigonometriche ad un integrale di una funzione razionale fratta in cui il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.

    Inneschiamo il metodo dei fratti semplici, notando che il denominatore è già scomposto come prodotto di fattori irriducibili:

    - al fattore t associamo il fratto semplice (A)/(t);

    - al fattore 1+t^2 associamo il fratto semplice (Bt+C)/(t^2+1).

    Il nostro intento ora è quello di determinare i numeri reali A e B tali che

    (1)/(t(1+t^2)) = (A)/(t)+(Bt+C)/(1+t^2)

    che scrivendoli con lo stesso denominatore

    (1)/(t(1+t^2)) = (A+At^2+Bt^2+Ct)/(t(1+t^2))

    Semplifichiamo il denominatore così da ottenere

    1 = A+At^2+Bt^2+Ct

    e raccogliamo parzialmente secondo le potenze di t al secondo membro:

    1 = (A+B)t^2+Ct+A

    Il principio di identità dei polinomi permette di costruire il seguente sistema lineare, mediante il quale è possibile determinare i numeri reali.

    A+B = 0 ; C = 0 ; A = 1

    I numeri reali che soddisfano il sistema sono A = 1, B = -1, C = 0 pertanto

    (1)/(t(1+t^2)) = (1)/(t)-(t)/(1+t^2)

    e l'integrale diventa

    (•) = -3∫_(1)^((√(2))/(2))((1)/(t)-(t)/(1+t^2))dt =

    che per la linearità dell'integrale definito si scrive come segue

    = -3(∫_(1)^((√(2))/(2))(1)/(t)dt-∫_(1)^((√(2))/(2))(t)/(1+t^2)dt) = (•)

    Osserviamo che il primo è un integrale fondamentale, che risulta essere un logaritmo a meno di costanti additive:

     ∫_(1)^((√(2))/(2))(1)/(t)dt = [ln(|t|)]_(t = 1)^(t = (√(2))/(2)) = ln((√(2))/(2))-ln(1) = ln((√(2))/(2))

    Il secondo integrale è riconducibile ad un integrale fondamentale in forma generale a patto di moltiplicare e dividere per 2

     ∫_(1)^((√(2))/(2))(t)/(1+t^2)dt = (1)/(2)∫_(1)^((√(2))/(2))(2t)/(1+t^2)dt =

    Il numeratore è la derivata del denominatore

    = [(1)/(2)ln(|1+t^2|)]_(t = 1)^(t = (√(2))/(2)) = -(1)/(2)ln((4)/(3))

    A questo punto è solo una questione di conti: l'integrale di partenza ha per risultato la somma algebrica dei contributi dei singoli integrali

    ∫_(0)^((π)/(4))(3tan(x))/(1+cos^2(x))dx = -3(ln((√(2))/(2))+(1)/(2)ln((4)/(3))) =

    che grazie alle proprietà dei logaritmi si scrive come

     = -3((1)/(2)ln(2)-ln(2)+(1)/(2)(ln(4)-ln(3))) = -3((1)/(2)ln(2)-ln(2)+ln(2)-(1)/(2)ln(3)) = -3((ln(2))/(2)-(ln(3))/(2)) = -(3)/(2)ln((2)/(3))

    L'esercizio è finalmente concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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