Soluzioni
  • L'equazione irrazionale è

    \sqrt{4-x^2}=2-x

    Per prima cosa dobbiamo imporre la condizione di esistenza della radice. Al primo membro è presente un radicale con indice pari, dunque dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore o uguale a zero.

    4-x^2\ge 0

    Otteniamo così una disequazione di secondo grado pura

    4-x^2\ge 0\implies -x^2\ge -4\implies x^2\le 4\implies -2\le x\le 2

    Ora ragioniamo un momento. Affinché possa sussistere l'uguaglianza dobbiamo pretendere che i due membri siano concordi, ossia che abbiano lo stesso segno.

    Notoriamente, la radice quadrata è una quantità positiva o nulla e per concordanza dobbiamo richiedere che

    2-x\ge 0\implies x\le 2

    Fatte queste premesse, per risolvere questo tipo di equazioni con il metodo del confronto grafico, si tracciano i grafici delle funzioni che definiscono il primo e il secondo membro

    \\ y=\sqrt{4-x^2}\\ \\  y=2-x

    Per rappresentare la funzione

    y=\sqrt{4-x^2}

    osserviamo che per la condizione di concordanza dovremo pretendere che y sia maggiore o uguale a zero, dunque y\ge 0, teniamo a mente questa informazione, ci servirà tra poco.

    Eleviamo al quadrato membro a membro:

    y^2=4-x^2

    Portiamo al primo membro il termine x^2 stando attenti al segno

    x^2+y^2=4

    Quella ottenuta è l'equazione della circonferenza di centro nell'origine e raggio 2. Sarà nostro compito rappresentarla nel piano cartesiano, considereremo però solo la parte di circonferenza che giace nel primo e secondo quadrante perché, come abbiamo evidenziato in precedenza, y\ge 0.

    Consideriamo ora l'equazione

    y=2-x

    Chiaramente è l'equazione di una retta in forma esplicita. Essa è decrescente e passante per i punti A(0, 2)\mbox{ e }B(2,0)

    Il perché è decrescente lo si vede dal coefficiente angolare, che in questo caso è m=-1.

    Aiutiamoci con righello e compasso per rappresentare nel migliore dei modi sia la circonferenza che la retta, e determiniamo i punti di intersezione che sono

    A(0,2)\mbox{ e }B(2,0)

    e prendiamo in considerazione solo le ascisse. Le soluzioni dell'equazione irrazionale di partenza sono

    x=0\mbox{ e }x=2

    Osserviamo che entrambi i valori soddisfano la condizione di concordanza x\le 2.

    Per una ulteriore conferma, sostituiamo i valori, uno per volta al posto dell'incognita nell'equazione irrazionale, così da verificare l'effettiva uguaglianza.

    Se x=0 allora

    \\ \sqrt{4-0^2}=2-0\\ \\ \sqrt{4}=2\implies 2=2

    Se x=2 allora

    \\ \sqrt{4-2^2}=2-2\implies 0=0

    e l'esercizio è terminato. :)

    Risposta di Ifrit
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