Soluzioni
  • Dall'analisi preliminare, comprendiamo che il limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{x\sqrt{x^3+1}-x^2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=

    presenta una forma indeterminata: osserviamo infatti che quando x\to+\infty il numeratore genera una forma di indecisione del tipo [+\infty-\infty].

    Per risolverla procediamo razionalizzando il numeratore: in altri termini moltiplichiamo e dividiamo per il termine

    x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x}

    così che il limite si esprima nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x\sqrt{x^3+1}-x^2\sqrt{x})(x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x})}=

    La regola relativa alla differenza di quadrati ci permette di passare al limite

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2(x^3+1)-x^4\cdot x}{\sqrt{x}(x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x})}=

    che, dopo aver svolto i calcoli, diventa

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{\sqrt{x}(x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x})}=(\bullet)

    La forma di indecisione non è stata ancora risolta, ma siamo pochi passi dalla risoluzione. Per mettere un punto all'esercizio analizziamo asintoticamente il numeratore e il denominatore.

    Per x\to+\infty il numeratore si comporta asintoticamente come se stesso. Molto più interessante è invece il comportamento del denominatore.

    Poiché possiamo trascurare le costanti additive quando siamo in presenza di infiniti, deduciamo che il termine \sqrt{x^3+1} si comporta come \sqrt{x^3} conseguentemente è garantita la validità dell'equivalenza asintotica

    x\sqrt{x^3+1}\sim_{x\to+\infty}x\sqrt{x^3}=x^{\frac{5}{2}}

    La definizione di potenza con esponente fratto e le proprietà delle potenze garantiscono l'uguaglianza

    x^2\sqrt{x}=x^2\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{5}{2}}

    mediante la quale possiamo concludere che

    \sqrt{x}(x\sqrt{x^3+1}+x^2\sqrt{x})

    si comporta asintoticamente come

    \sqrt{x}(x^{\frac{5}{2}}+x^{\frac{5}{2}})=\sqrt{x}\cdot 2 x^{\frac{5}{2}}=2 x^3

    Con le informazioni in nostro possesso siamo in grado di asserire che il limite dato dalla traccia ha lo stesso risultato del seguente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{2x^3}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x}=0

    Il limite è 0 in accordo con l'algebra degli infiniti.

    Risposta di Ifrit
 
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