Limite di successione fratta con termini misti

Sono in difficoltà con il calcolo del limite di una successione con fattoriali, esponenziali, seni e logaritmi. Il mio docente mi ha consigliato di procedere con le stime asintotiche e di analizzare il comportamento dei singoli fattori. Potreste aiutarmi?

Calcolare il seguente limite di successione

lim_(n → +∞)(((n+3)!-n!)e^(nsin((2)/(n^2))))/((e^((1)/(n))+1) (n^3-1)(n!-ln(n)))

Grazie.

Domanda di Nicoló

Soluzioni

Per calcolare il limite di successione
analizziamo i singoli fattori che compongono la successione. Come vedremo tra un istante, anche se la sua espressione appare complicata, ci sono alcuni termini che non hanno effetti sugli ordini di infinito coinvolti.
Cominciamo dalla differenza
Applichiamo la definizione di fattoriale
ed effettuiamo un raccoglimento totale
Da qui si vede che vale la relazione asintotica
e in definitiva
Passiamo al termine esponenziale e concentriamoci sull'esponente
Per l'argomento del seno tende a zero, dunque possiamo usare la stima asintotica notevole
da cui segue che
e quindi
Riguardo al termine esponenziale nel suo complesso, poiché l'esponente tende a zero per deduciamo che
È il turno del primo fattore che compare a denominatore
Molto semplicemente, per l'esponente tende a 0, quindi il termine esponenziale tende a 1 e la somma tende a 2
Il fattore è la somma tra un infinito e una costante:
Per concludere consideriamo il fattore
Dalla teoria degli ordini di infinito di successioni sappiamo che , per cui
Abbiamo tutti gli ingredienti per calcolare il limite della successione proposta dall'esercizio:
Riscriviamolo come prodotto di due limiti
Il primo limite vale ; il secondo si calcola sostituendo ciascun fattore con la relativa stima asintotica
Usiamo la definizione ricorsiva di fattoriale per riscrivere in modo conveniente:
Per , il numeratore si comporta asintoticamente come , per cui il limite diventa
In definitiva
e l'esercizio è concluso.
Risposta di Ifrit