Soluzioni
  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • grazieSmile

    Risposta di Nicoló
  • Cominciamo dalla continuità della funzione

    f(x)=\left\{\begin{matrix}0& x\leq 1\\ (x-1)^{\alpha}\sin{(\sqrt[3]{(x-1)})}& x>1\end{matrix}

    In accordo con la definizione di continuità, si tratta di valutare per quali valori di \alpha risulta che

    \lim_{x\to 1^{+}}{(x-1)^{\alpha}\sin{(\sqrt[3]{x-1})}}=0

    Questo perché naturalmente

    \lim_{x\to 1^{-}}{f(x)}=f(0)=0

    Se \alpha\geq 0, non ci sono problemi di alcun tipo: il suddetto limite vale zero e lo si vede per valutazione diretta. Eventuali problemi potrebbero sussistere nell'eventualità in cui \alpha\textless 0.

    In tal caso, osserviamo che -\alpha>0 e riscriviamo la funzione nella forma

    \lim_{x\to 1^{+}}{\frac{\sin{(\sqrt[3]{x-1})}}{(x-1)^{-\alpha}}}

    Grazie al limite notevole del seno, sostituiamo per equivalenza asintotica

    \sin{(\sqrt[3]{x-1})}\sim_{x\to 0}{\sqrt[3]{x-1}}=(x-1)^{\frac{1}{3}}

    per cui passiamo al limite

    \lim_{x\to 1^{+}}{\frac{(x-1)^{\frac{1}{3}}}{(x-1)^{-\alpha}}}

    ovvero

    \lim_{x\to 1^{+}}{(x-1)^{\frac{1}{3}+\alpha}}

    Ora: se \frac{1}{3}+\alpha>0, cioè \alpha>-\frac{1}{3}, la funzione è continua nel punto perché il limite vale zero. In tutti gli altri casi no: in particolare, se \alpha=-\frac{1}{3} abbiamo in x=1 una discontinuità di prima specie ("a salto") e se \alpha\textless -\frac{1}{3} abbiamo un punto di discontinuità di seconda specie (limite destro infinito).

    Delle discontinuità ne parliamo in questo articolo.

    Tutto ok fin qui? :)

    Risposta di Omega
  • non mi e ben chiaro perche sia punto di salto e non discontinuità eliminabile se alfa e = a -1/3... per il resto tutto chiaro!!

    Risposta di Nicoló
  • Perché in quel caso il limite destro, cioè per x\to 1^{+}, varrebbe 1.

    Passiamo alla derivabilità?

    Risposta di Omega
  • ah ok quindi a sinistra vale 0 e a destra vale 1... passiamo alla derivabilità!!

    Risposta di Nicoló
  • Per la derivabilità, dobbiamo calcolare il limite destro del rapporto incrementale nel punto per x\to 1^{+}, e scegliere i valori di \alpha per i quali esso vale zero:

    \lim_{x\to 1^{+}}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim_{x\to 1^{+}}{(x-1)^{\alpha-1}\sin{\sqrt[3]{(x-1)}}}

    (dove abbiamo osservato che f(1)=0 per definizione di f).

    Qui si ragiona in modo del tutto analogo a quanto fatto in precedenza, proprio pari pari Wink 

    Chiama \beta=\alpha -1 e ricopia il procedimento precedente con \beta anziché \alpha.

    Tieni conto del fatto che una funzione, per essere derivabile, deve necessariamente essere continua, quindi i valori di \alpha che rendono continua la funzione sono rappresentano l'insieme di valori in cui cercare i valori di \alpha per i quali la funzione è derivabile.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • va bene!! grazie mille!!

    Risposta di Nicoló
 
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