Verificare che due vettori sono autovettori di una applicazione lineare

Question

Data un'applicazione lineare viene chiesto di verificare, usando la definizione, che numeri e vettori assegnati sono suoi autovalori e autovettori. Potreste spiegarmi cosa dovrei fare? Ho appena concluso lo studio di questo argomento e ho le idee molte confuse.

Si consideri l'applicazione lineare definita da

Verificare, usando la definizione, che i vettori

sono autovettori di relativi, rispettivamente, agli autovalori:

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Supponiamo che V sia uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K e sia F:V → V un'applicazione lineare. Un vettore non nullo v ∈ V è un autovettore dell'applicazione lineare F relativo all'autovalore λ_0 ∈ K se e solo se, per definizione, l'immagine di v mediante F è uguale al prodotto tra lo scalare λ_0 e il vettore v, ossia se: F(v) = λ_0 v Consideriamo, ora, l'applicazione lineare F:R^3 → R^3 definita da F(x,y,z) = (-2x+y, -2y, x+y) e, come richiesto, verifichiamo che: v_1 = (0,0,1) è un autovettore di F relativo all'autovalore λ_1 = 0; v_2 = (-2,0,1) è un autovettore di F relativo all'autovalore λ_2 = -2. Per quanto ricordato in precedenza devono valere le seguenti uguaglianze F(v_1) = λ_1 v_1 ; F(v_2) = λ_2v_2 Calcoliamo, allora, le immagini tramite F dei vettori v_1, v_2 e i prodotti scalare-vettore presenti al secondo membro ; F(v_1) = F(0,0,1) = (0,0,0) ; F(v_2) = F(-2,0,1) = (4,0,-2) ; λ_1 v_1 = 0·(0,0,1) = (0,0,0) ; λ_2 v_2 = -2·(-2,0,1) = (4,0,-2) Evidentemente: ; F(v_1) = (0,0,0) = λ_1 v_1 e F(v_2) = (4,0,-2) = λ_2 v_2 dunque v_1 è un autovettore di F relativo e λ_1 e v_2 è un autovettore di F associato a λ_2. È fatta!

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