Polinomio scomponibile nel quadrato di un trinomio

L'esercizio ci chiede di scomporre due polinomi usando un opportuno prodotto notevole.

I polinomi in questione sono:

e sono lo sviluppo del quadrato di un trinomio, ecco perché ci avvarremo della regola di scomposizione

Essa consente di esprimere il polinomio formato dai quadrati di tre monomi e dai loro doppi prodotti misti come il quadrato della somma di tali monomi.

Per usare la formula occorre:

- individuare i termini quadratici e determinare le loro basi;

- dedurre i segni da assegnare alle basi dai segni dei doppi prodotti. In altri termini bisogna usare la regola dei segni e ricordare che il prodotto di due termini è positivo se e solo se i termini sono concordi (hanno lo stesso segno), mentre se il prodotto è negativo, i due termini sono necessariamente discordi (hanno segno opposto);

Occupiamoci del primo polinomio

e individuiamo i termini quadratici.

è il quadrato di , infatti le proprietà delle potenze, e in particolare la regola relativa alla potenza di potenza, garantiscono le seguenti uguaglianze:

è chiaramente il quadrato di ;

è il quadrato di sé stesso.

A meno dei segni, le basi sono : bisogna attribuire loro i segni così che siano coerenti con quelli dei doppi prodotti presenti nel polinomio.

Si noti che i doppi prodotti coincidono (anche in segno) con quelli del polinomio, per cui deduciamo che i segni delle basi sono quelli giusti.

In virtù della regola sul quadrato di trinomio, la scomposizione richiesta è:

Occupiamoci del secondo polinomio

Esso sembrerebbe effettivamente il quadrato di un trinomio, ma come vedremo non è così. Per mostrarlo, bisogna semplicemente individuare i termini quadratici, ricavare le basi e mostrare che non esiste alcuna combinazione di segni da dare alle basi che consente di ricavare i doppi prodotti del polinomio.

è a il primo termine quadratico e a esso associamo la base , infatti per le proprietà delle potenze:

Il secondo termine quadratico è a cui associamo la base , infatti:

L'ultimo termine quadratico è la cui base è , infatti:

Indichiamo con le basi dei tre quadrati e calcoliamo i loro doppi prodotti:

Il segno di tale doppio prodotto coincide con quello che occorre nel polinomio, pertanto deduciamo che devono essere necessariamente concordi (i coefficienti hanno lo stesso segno).

Calcoliamo

Attenzione! Nel polinomio è presente il termine , e affinché ci sia coerenza di segni, dobbiamo richiedere che siano discordi.

Determiniamo :

Poiché il prodotto ha coefficiente positivo, i due fattori devono essere concordi.

Riassumiamo la situazione. Grazie alla regola dei segni, abbiamo scoperto che:

1 - i coefficienti di devono essere necessariamente concordi;

2 - i coefficienti di devono essere necessariamente discordi;

3 - i coefficienti di devono essere necessariamente concordi.

Ecco che sorge la contraddizione: se è concorde con e è concorde con , per forza di cose, è concorde con , violando la condizione 2.

Possiamo concludere che il polinomio

non è lo sviluppo del quadrato di alcun trinomio.

Ecco fatto!