Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di scomporre due polinomi usando un opportuno prodotto notevole.

    I polinomi in questione sono:

    \\ (a) \ \ \ x^{6}+x^2+1+2x^4+2x^3+2x \\ \\ (b) \ \ \ 9x^{4}+16a^{2}x^{2}+a^{6}+24ax^{3}-6a^{3}x^{2}+8a^{4}x

    e sono lo sviluppo del quadrato di un trinomio, ecco perché ci avvarremo della regola di scomposizione

    A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)^2

    Essa consente di esprimere il polinomio formato dai quadrati di tre monomi e dai loro doppi prodotti misti come il quadrato della somma di tali monomi.

    Per usare la formula occorre:

    - individuare i termini quadratici e determinare le loro basi;

    - dedurre i segni da assegnare alle basi dai segni dei doppi prodotti. In altri termini bisogna usare la regola dei segni e ricordare che il prodotto di due termini è positivo se e solo se i termini sono concordi (hanno lo stesso segno), mentre se il prodotto è negativo, i due termini sono necessariamente discordi (hanno segno opposto);

    Occupiamoci del primo polinomio

    (a) \ \ \ x^{6}+x^2+1+2x^4+2x^3+2x

    e individuiamo i termini quadratici.

    x^{6} è il quadrato di x^{3}, infatti le proprietà delle potenze, e in particolare la regola relativa alla potenza di potenza, garantiscono le seguenti uguaglianze:

    (x^{3})^{2}=x^{3\cdot 2}=x^{6}

    x^{2} è chiaramente il quadrato di x;

    1 è il quadrato di sé stesso.

    A meno dei segni, le basi sono A=x^{3}, \ B=x \ \mbox{e} \ C=1: bisogna attribuire loro i segni così che siano coerenti con quelli dei doppi prodotti presenti nel polinomio.

    \\ 2AB=2\cdot x^{3}\cdot x=2x^{4} \\ \\ 2AC=2\cdot x^{3}\cdot 1=2x^3 \\ \\ 2BC=2\cdot x=2x

    Si noti che i doppi prodotti coincidono (anche in segno) con quelli del polinomio, per cui deduciamo che i segni delle basi sono quelli giusti.

    In virtù della regola sul quadrato di trinomio, la scomposizione richiesta è:

    x^{6}+x^2+1+2x^4+2x^3+2x=(x^{3}+x+1)^2

     

    Occupiamoci del secondo polinomio

    (b) \ \ \ 9x^{4}+16a^{2}x^{2}+a^{6}+24ax^{3}-6a^{3}x^{2}+8a^{4}x

    Esso sembrerebbe effettivamente il quadrato di un trinomio, ma come vedremo non è così. Per mostrarlo, bisogna semplicemente individuare i termini quadratici, ricavare le basi e mostrare che non esiste alcuna combinazione di segni da dare alle basi che consente di ricavare i doppi prodotti del polinomio.

    9x^{4} è a il primo termine quadratico e a esso associamo la base 3x^{2}, infatti per le proprietà delle potenze:

    (3x^2)^2=3^2(x^{2})^2=9x^{2\cdot 2}=9x^{4}

    Il secondo termine quadratico è 16a^{2}x^2 a cui associamo la base 4ax, infatti:

    (4ax)^2=16a^2 x^2

    L'ultimo termine quadratico è a^{6} la cui base è a^{3}, infatti:

    (a^{3})^2=a^{3\cdot 2}=a^{6}

    Indichiamo con A, \ B\ \mbox{e} \ C le basi dei tre quadrati e calcoliamo i loro doppi prodotti:

    2AB=2\cdot 3x^{2}\cdot 4ax=24ax^{3}

    Il segno di tale doppio prodotto coincide con quello che occorre nel polinomio, pertanto deduciamo che A\ \mbox{e} \ B devono essere necessariamente concordi (i coefficienti hanno lo stesso segno).

    Calcoliamo 2AC

    2AC=2\cdot 3x^{2}\cdot a^3=6a^3x^2

    Attenzione! Nel polinomio è presente il termine -6a^{3}x^2, e affinché ci sia coerenza di segni, dobbiamo richiedere che A \ \mbox{e}\ C siano discordi.

    Determiniamo 2BC:

    2BC=2\cdot 4x\cdot a^3=8a^{3}x

    Poiché il prodotto ha coefficiente positivo, i due fattori B\ \mbox{e} \ C devono essere concordi.

    Riassumiamo la situazione. Grazie alla regola dei segni, abbiamo scoperto che:

    1 - i coefficienti di A \ \mbox{e} \ B devono essere necessariamente concordi;

    2 - i coefficienti di A \ \mbox{e} \ C devono essere necessariamente discordi;

    3 - i coefficienti di B\ \mbox{e} \ C devono essere necessariamente concordi.

    Ecco che sorge la contraddizione: se A è concorde con B e B è concorde con C, per forza di cose, A è concorde con C, violando la condizione 2.

    Possiamo concludere che il polinomio

    9x^{4}+16a^{2}x^{2}+a^{6}+24ax^{3}-6a^{3}x^{2}+8a^{4}x

    non è lo sviluppo del quadrato di alcun trinomio.

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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