Soluzioni
  • Per calcolare il limite di successione

    \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}-n}{1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)}=(\bullet)

    razionalizziamo il numeratore moltiplicando e dividendo per

    \sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n

    ottenendo

    (\bullet)=\lim_{n\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}-n\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    Scriviamo il prodotto somma per differenza nella differenza di quadrati

    \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2-n^2}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}= \\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    A questo punto, riportiamo due limiti notevoli per successioni che ci torneranno utili in seguito:

    - il limite notevole dell'arcotangente

    \lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan(a_n)}{a_n}=1

    valido a patto che a_n tenda a 0 per n\to+\infty;

    - il limite notevole del coseno

    \lim_{n\to+\infty}\frac{1-\cos(a_n)}{a_n^2}=\frac{1}{2}

    valido a patto che a_n tenda zero per n\to +\infty.

    Per ricondurci al limite notevole dell'arcotangente, moltiplichiamo e dividiamo il numeratore per \frac{1}{n}

    =\lim_{n\to+\infty}\frac{\tfrac{1}{n}\cdot\frac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    dopodiché rielaboriamo il limite in maniera comoda

    \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}\cdot\frac{\frac{1}{n}}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}= \\ \\ \\ =\overbrace{\lim_{n\to+\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{\frac{1}{n}}}^{=1}\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=\\ \\ \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    Per ricondurci al limite notevole del coseno, moltiplichiamo e dividiamo 1-\cos\left(\frac{1}{n}\right) per \frac{1}{n^2}

    \\ =\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\tfrac{1}{n^2}\left(\frac{1-\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n^2}}\right)\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}= \\ \\ \\ =\overbrace{\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\frac{1-\cos\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n^2}}}}^{=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}}\cdot\lim_{n\to +\infty}\frac{\tfrac{1}{n}}{\tfrac{1}{n^2}\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=\\ \\ \\ =\frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{\tfrac{1}{n}}{\tfrac{1}{n^2}\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    Scriviamo in forma normale la frazione di frazioni e semplifichiamo \frac{1}{n} con \frac{1}{n^2}

    =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\tfrac{1}{n}\left(\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}+n\right)}=

    Mettiamo in evidenza n^2 all'interno della radice quadrata e usiamo le proprietà dei radicali

    \\ =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\tfrac{1}{n}\left(\sqrt{n^2\left(\tfrac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{n^2}+1\right)}+n\right)}= \\ \\ \\ =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\tfrac{1}{n}\left(\sqrt{n^2}\sqrt{\left(\tfrac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{n^2}+1\right)}+n\right)}=\\ \\ \\ =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\tfrac{1}{n}\left(n\sqrt{\tfrac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{n^2}+1}+n\right)}=

    Raccogliamo n al denominatore e semplifichiamo:

    \\ =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\tfrac{1}{n}\cdot n\left(\sqrt{\tfrac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{n^2}+1}+1\right)}= \\ \\ \\ =2\cdot\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{\tfrac{\arctan\left(\tfrac{1}{n}\right)}{n^2}+1}+1}=

    A questo punto osserviamo che per n\to +\infty, \ \frac{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)}{n^2}\to 0, pertanto il limite precedente si riduce a

    =2\cdot \frac{1}{\sqrt{0+1}+1}=2\cdot\frac{1}{2}=1

    In definitiva

    \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt{\arctan\left(\frac{1}{n}\right)+n^2}-n}{1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)}=1

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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