Soluzioni
  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti...Laughing

    Risposta di Omega
  • ok grazie

    Risposta di Nicoló
  • Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore al tendere di n\to +\infty. Dovremo applicare un po' di equivalenze asintotiche, che vengono dedotte direttamente dai limiti notevoli: qui trovi i limiti notevoli per le funzioni, ma per le successioni valgono pari pari...

    Consideriamo il termine

    \arctan{\left(\frac{7}{n}\right)}\sim_{n\to +\infty}\frac{7}{n}

    per il limite notevole dell'arcotangente, poi consideriamo

    \sqrt{\frac{7}{n}+n}

    e raccogliamo un n all'interno della radice quadrata

    \sqrt{n}\sqrt{\frac{7}{n^2}+1}

    Poi guardiamo l'intero numeratore

    \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{7}{n^2}}-n

    e raccogliamo un n

    \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{7}{n^2}}-n=n\left[\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{1+\frac{7}{n^2}}-1\right]

    A questo punto non c'è altro modo per calcolare il limite se non ricorrere agli sviluppi di Taylor: ti chiedo però una conferma sul testo: il termine che viene sottratto alla radice a numeratore è n oppure \sqrt{n}?...

     

    Risposta di Omega
  • al numeratore viene sottratto radice di n..scusami tanto ma ho sbagliato a scrivere!!

    Risposta di Nicoló
  • Capita, non preoccuparti! Laughing

    (Il ghigno è dovuto al fatto che in questo modo il limite è nettamente più semplice da calcolare...)

    Dicevamo: cancelliamo l'ultimo passaggio e raccogliamo un \sqrt{n} a numeratore

    \sqrt{n}\left[\sqrt{\frac{7}{n^2}+1}-1\right]

    applichiamo quindi il limite notevole opportuno (è innominabile XD)

    \sqrt{n}\left[\left(\frac{7}{n^2}+1\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]\sim_{n\to +\infty} \sqrt{n}\frac{1}{2}\frac{7}{n^2}

    Passiamo al denominatore, e applichiamo il limite notevole del coseno

    1-\cos{\left(\frac{7}{n}\right)}\sim_{n\to +\infty} \frac{1}{2}\frac{49}{n^2}

    E rimettiamo tutto assieme:

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{\sqrt{\arctan{\left(\frac{7}{n}\right)}+\sqrt{n}}-n}{\sqrt{n}\left(1-\cos{\left(\frac{7}{n}\right)}\right)}}=\lim_{n\to +\infty}{\frac{\sqrt{n}\frac{1}{2}\frac{7}{n^2}}{\sqrt{n}\frac{1}{2}\frac{49}{n^2}}}=\frac{1}{7}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok grazie mille!! ma se io applico taylor con la formula (1+x)^α a (1+7/n)^1/2 va bene lo stesso?? poi volevo chiederti se qnd avevi tempo potevi guardare il forum che ho aperto una discussione oggi pomeriggio presto e nessuno me l ha piu guardata!! t ringrazio ancora tanto buona serata!!

    Risposta di Nicoló
  • Taylor va bene, ma in questo caso applicare gli sviluppi in serie è come spezzare un grissino con un carro armato Wink

    Nel Forum, come avviene tutti i giorni, se qualche altro membro dello Staff o utente non ha risposto alle domande presenti,  le domande inevase trovano tendenzialmente risposta verso sera. Se sono qui, salvo casi eccezionali non posso essere là ;)

    Namasté! 

    Risposta di Omega
  • grazie mille!!

    Risposta di Nicoló
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