Scomposizione di un trinomio con i prodotti notevoli

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Dovrei scomporre due polinomi facendo ricorso ai prodotti notevoli. Il primo è un polinomio a esponenti letterali, mentre il secondo il secondo è un polinomio con due variabili. Come posso fare?

 

Scomporre i seguenti polinomi usando gli opportuni prodotti notevoli

 

• 4a^(2n+2)+9a^2+12a^(n+2) ; • (a+1)^3-2(a+1)^2(2a+b)+(a+1)(2a+b)^2

 

Grazie.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • L'esercizio chiede di scomporre due polinomi usando gli opportuni prodotti notevoli. Prima di effettuare i passaggi risolutivi, riteniamo sia opportuno fare un piccolo ripasso teorico sulla regola del quadrato di un binomio, poiché permetterà di concludere il problema in men che non si dica.

    Letta al contrario, la regola sul quadrato di binomio è

    A^2+2AB+B^2 = (A+B)^2

    Nel trinomio al primo membro compaiono:

    - il quadrato del termine A;

    - il quadrato del termine B;

    - il doppio prodotto tra A e B.

    Per poterlo scomporre, dobbiamo necessariamente determinare la base dei quadrati e prestare la massima attenzione al segno del doppio prodotto!

    Dopo questa breve introduzione, procediamo con la scomposizione dei polinomi, partendo dal primo.

    4a^(2n+2)+9a^2+12a^(n+2) =

    Grazie alle proprietà delle potenze, possiamo rielaborare i termini come segue:

    = 4a^(2n)·a^2+9a^2+12a^n·a^2 =

    In ciascun addendo compare il fattore comune a^2, pertanto possiamo operare un raccoglimento totale: mettiamo in evidenza a^2.

    = a^2[4a^(2n)+9+12a^(n)]

    A questo punto analizziamo il polinomio interno alle parentesi quadre:

    • 4a^(2n) è il quadrato del monomio 2a^n, infatti:

    (2a^n)^2 = 2^2(a^n)^(2) = 4a^(2n)

    • 9 è il quadrato di 3, infatti 3^2 = 9;

    • 12a^n è il doppio prodotto tra i monomi 2a^(n) e 3, infatti:

    2·2a^n·3 = 2·2·3·a^n = 12a^n

    pertanto il polinomio 4a^(2n)+9+12a^n è il quadrato del binomio 2a^n+3, in formule:

    4a^(2n)+9+12a^n = (2a^n+3)^2

    Riprendiamo la nostra espressione e rimpiazziamo il trinomio con la sua scomposizione

    a^2[4a^(2n)+9+12a^n] = a^2(2a^n+3)^2

    Il primo polinomio è scomposto.

    Occupiamoci del secondo polinomio

    (a+1)^3-2(a+1)^2(2a+b)+(a+1)(2a+b)^2 =

    Gli addendi condividono il binomio a+1 che a conti fatti è un fattore comune. Se procediamo con il raccoglimento totale, il polinomio diventa

    = (a+1)[(a+1)^2-2(a+1)(2a+b)+(2a+b)^2] =

    Nelle parentesi quadre compare il quadrato di a+1 , il quadrato di -(2a+b) e il loro doppio prodotto, pertanto la regola sul quadrato di un binomio consente di scrivere l'espressione:

    = (a+1)[(a+1)-(2a+b)]^2 = (a+1)[a+1-2a-b^2]^2

    Sommiamo i monomi simili all'interno delle parentesi quadre e traiamo le conclusioni:

    = (a+1)[-a-b+1]^2

    In definitiva

    (a+1)^3-2(a+1)^2(2a+b)+(a+1)(2a+b)^2 = (a+1)[-a-b+1]^2

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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