Formule di duplicazione per calcolare funzioni goniometriche

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Ciao! Potreste aiutarmi con questo quesito sulle formule di duplicazione?Devo calcolare

 

sin(2 arcsin((8)/(17))), cos(2 arcsin((8)/(17)))

 

Riporto i risultati: 240/289 e 161/289. Grazie!

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • Iniziamo con le formule di duplicazione:

    sin(2t) = 2cos(t)sin(t)

    Di conseguenza:

    sin(2 arcsin (8)/(17)) = 2cos(arcsin(8)/(17))sin(arcsin(8)/(17))

    Ora ricorda la relazione che sussiste tra seno e arcoseno

    sin(arcsin(t)) = t t∈ [-1, 1]

    Mentre

    cos(arcsin(t)) = √(1-t^2) t∈ [-1, 1]

    Quindi

    cos(arcsin(8)/(17)) = √(1-((8)/(17))^2) = (15)/(17)

    mentre

    sin(arcsin(8)/(17)) = (8)/(17)

    Di conseguenza:

    sin(2 arcsin (8)/(17)) = 2cos(arcsin(8)/(17))sin(arcsin(8)/(17)) =

    2·(15)/(17)·(8)/(17) = (240)/(289)

     

    Per il secondo procediamo in modo simile, per le formule di duplicazione:

    cos(2t) = cos^2(t)-sin^2(t)

    Di conseguenza:

    cos(2 arcsin (8)/(17)) = cos^2(arcsin(8)/(17))-sin^2(arcsin (8)/(17))

    Abbiamo visto prima che 

    cos(arcsin(8)/(17)) = (15)/(17) ⇒ cos^2(arsin(8)/(17)) = (15^2)/(17^2)

    sin(arcsin (8)/(17)) = (8)/(17) ⇒ sin^2(arcsin(8)/(17)) = (8^2)/(17^2)

    Da cui

    cos(2 arcsin (8)/(17)) = cos^2(arcsin(8)/(17))-sin^2(arcsin (8)/(17))

    = (15^2)/(17^2)-(8^2)/(17^2) = (161)/(289)

    Risposta di Ifrit
 
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