Soluzioni
  • Iniziamo con le formule di duplicazione:

    \sin(2t)=2\cos(t)\sin(t)

    Di conseguenza:

    \sin\left(2\arcsin \frac{8}{17}\right)=2\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)\sin\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)

    Ora ricorda la relazione che sussiste tra seno e arcoseno

    \sin(\arcsin(t))= t\quad t\in [-1, 1]

    Mentre

    \cos(\arcsin(t))=\sqrt{1-t^2}\quad t\in [-1, 1]

    Quindi

    \cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)= \sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2}= \frac{15}{17}

    mentre

    \sin\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)= \frac{8}{17}

    Di conseguenza:

    \sin\left(2\arcsin \frac{8}{17}\right)=2\cos\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)\sin\left(\arcsin\frac{8}{17}\right)=

    2\cdot \frac{15}{17}\cdot \frac{8}{17}= \frac{240}{289}

     

    Per il secondo procediamo in modo simile, per le formule di duplicazione:

    \cos(2t)= \cos^2(t)-\sin^2(t)

    Di conseguenza:

    \cos(2\arcsin \frac{8}{17})= \cos^2(\arcsin\frac{8}{17})-\sin^2(\arcsin \frac{8}{17})

    Abbiamo visto prima che 

    \cos(\arcsin\frac{8}{17})= \frac{15}{17}\implies \cos^2(\arsin\frac{8}{17})= \frac{15^2}{17^2}

    \sin(\arcsin \frac{8}{17})= \frac{8}{17}\implies \sin^2(\arcsin\frac{8}{17})= \frac{8^2}{17^2}

    Da cui

    \cos(2\arcsin \frac{8}{17})= \cos^2(\arcsin\frac{8}{17})-\sin^2(\arcsin \frac{8}{17})

    = \frac{15^2}{17^2}-\frac{8^2}{17^2}=\frac{161}{289}

    Risposta di Ifrit
 
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