Soluzioni
  • Vediamo come risolvere il problema: la generica equazione di una circonferenza è

    (x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2

    dove (x_C,y_C) sono le coordinate del centro, r la misura del raggio.

    Dato che la circonferenza è tangente all'asse delle y e ha raggio di misura \sqrt{2}, ne deduciamo in particolare che il centro ha coordinate della forma

    (\pm\sqrt{2},a)

    e dato che la circonferenza deve intercettare la bisettrice del primo quadrante, avremo necessariamente che ascissa e ordinata del centro devono essere concordi nel segno. Per simmetria rispetto all'origine, ci saranno due circonferenze accettabili: noi determiniamo quella avente centro

    (+\sqrt{2},a)

    con a positivo.

    Sostituendo tali informazioni nell'equazione della circonferenza

    (x-\sqrt{2})^2+(y-a)^2=2

    e svolgendo i conti, otteniamo

    x^2-2\sqrt{2}x+2+y^2+2ay+a^2=2

    Mettendo a sistema l'equazione della circonferenza con l'equazione della bisettrice del primo quadrante, che è 

    y=x

    otteniamo

    x^2-2\sqrt{2}x+2+x^2+2ax+a^2=2

    cioè

    2x^2+(-2\sqrt{2}-2a)x+a^2=0

    Questa equazione di secondo grado individua le ascisse dei due punti di intersezione, chiamiamole x_1,x_2; trovandosi sulla bisettrice del primo quadrante, le coordinate dei due punti di intersezione saranno date da

    (x_1,x_1),(x_2,x_2)

    e dipenderanno dal parametro a, ordinata del centro della circonferenza. Imponendo che la distanza tra i due punti sia pari a 2\sqrt{2}, vale a dire

    dist=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2} |x_1-x_2|= 2\sqrt{2}

    si ottiene un'equazione

    |x_1-x_2|=2

    che individua il valore del parametro a, e quindi la circonferenza cercata.

    Per simmetria rispetto all'origine, non sarà difficile a questo punto determinare la seconda circonferenza (con centro a coordinate negative).

    Per qualsiasi dubbio, non esitare a chiedere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie!

    Risposta di Francesca
 
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