Problema Geometria sul volume di un cono

EEcco il mio dilemma, sul volume di un cono in un esercizio di Geometria: l'area della superficie totale di un cono è di 1440 π cm e l'area di base è 5/13 di quella del area della superficie laterale. Calcola il volume del cono.

 

10 PUNTI AL PRIMO CHE RISPONDE CORRETTAMENTE!P.S: IL SIMBOLO π SIGNIFICA Pi Greco.

In Medie - Geometria - Domanda di anonimo

 
Soluzioni

  • Ti consiglio di tenere sotto mano le formule sul cono (click!)

    \begin{cases}S_{tot\,\, cono}= 1440\pi \,\, cm^2\\ A_{base}= \frac{5}{13} S_{lat}\\ V=?\end{cases}

    Noi conosciamo la superficie totale, che è data dalla somma dell'area della superficie laterale e l'area di base:

    S_{lat}+A_{bases}= 1440\pi \,\,cm^2

    Inoltre sappiamo che:

    A_{base}= \frac{5}{13}S_{lat}

    Per risolvere questo problema è quindi necessario calcolare l'unità frazionaria data dalla somma tra il numeratore e il denominatore della frazione.

    u_f= 5+13= 18

    Benissimo ora possiamo calcolare l'area di base e l'area della superficie laterale:

    A_{base}= S_{tot}: u_f\times 5= 1440\pi: 18\times 5=400\pi\,\, cm^2

    Mentre la superficie laterale è:

    S_{lat}= S_{tot}: u_f\times 13= 1440\pi: 18\times 13=1040\pi \,\, cm^2

    Avendo l'area di base possiamo calcolare il raggio con le formule inverse del cerchio:

    r= \sqrt{A_{base}: \pi}= \sqrt{400}= 20\,\, cm

    Ora possiamo calcolare la circonferenza:

    C=2\times \pi\times r= 2\times 20\pi\,\, cm= 40\pi\,\, cm

    A questo punto possiamo calcolare l'apotema del cono, dividendo la superficie laterale per la semicirconferenza:

    a= \frac{2\times S_{lat}}{C}= \frac{2\times 1040\pi}{40\pi}= 52\,\, cm

    Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per cateti il raggio di base e l'altezza del cono possiamo calcolare l'altezza:

    h=\sqrt{a^2- r^2}= \sqrt{52^2-20^2}=\sqrt{2304}=48\,\, cm

    Abbiamo tutti gli ingredienti per il calcolo del volume:

    V=\frac{\pi\times r^2\times h }{3}= \frac{48\times 20^2\pi}{3}=6400\pi\,\, cm^3

    Risposta di Ifrit
 
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