Soluzioni
  • Del calcolo di autovalori, autovettori ed autospazi di una matrice parliamo nel dettaglio nelle nostre lezioni su matrici e vettori.

    Ti rimando prima o dopo alla lettura della lezione e delle lezioni di approfondimento che linkerò nel corso della mia risposta.

    A titolo di esempio, vediamo come calcolare gli autovalori della matrice

    A=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 1\\0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\end{matrix}\right]

    Per definizione gli autovalori di una matrice sono gli zeri del polinomio caratteristico p(t) della matrice, ossia le soluzioni dell'equazione

    p(t)=0

    dove il polinomio caratteristico p(t) è definito mediante il determinante di un'opportuna matrice:

    p(t)=det(A-t I)

    dove I denota la matrice identità.

    Calcoliamo il polinomio caratteristico della matrice considerata

    p(t)=det(A-t I)=\left[\begin{matrix}1-t & 0 & 1\\0 & -t & 1\\ 0 & 1 & -t\end{matrix}\right]

    Dato che abbiamo a che fare con una matrice 3x3 possiamo usare la regola di Sarrus

    p(t)=(1-t)(-t)(-t)+0+0-0-0-(1-t)\cdot(1)\cdot(1)=-t^3+t^2+t-1

    Per calcolare gli autovalori consideriamo l'equazione omogenea associata

    p(t)=0\ \to\ -t^3+t^2+t-1=0

    e per risolverla conviene procedere con un raccoglimento parziale, per poi applicare la legge di annullamento del prodotto

    -t^2(t-1)+t^2+(t-1)=0\ \to\ (-t^2+1)(t-1)=0

    Da cui ricaviamo le soluzioni t=1 (ripetuta due volte) e t=-1.

    Gli autovalori della matrice A sono quindi t=1 con molteplicità algebrica 2 e t=1 con molteplicità algebrica 1.

    Ora procediamo al calcolo degli autospazi, che per definizione sono i sottospazi vettoriali di autovettori associati a ciascuno degli autovalori.

    Nel nostro caso ci sono due autospazi ed essi sono sottospazi vettoriali di \mathbb{R}^3.

    Autospazio ed autovettori relativi all'autovalore t=1

    Per definizione di autospazio e di autovettore, dobbiamo considerare il sistema lineare

    (A-tI)\underline{v}=\underline{0}

    dove \underline{v} è il vettore delle incognite e dove sostituiremo in luogo di t l'autovalore considerato.

    Lo spazio delle soluzioni è detto autospazio relativo all'autovalore t, mentre le soluzioni \underline{v} (ossia gli elementi dell'autospazio) sono detti autovettori relativi all'autovalore t.

    Scriviamo il sistema in forma matriciale con t=1

    (A-I)\underline{v}=\underline{0}\ \to\ \left[\begin{matrix}0 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]

    ossia, eseguendo i prodotti riga per colonna

    \begin{cases}z=0\\ -y+z=0\\ y-z=0\end{cases}

    Il sistema lineare presenta due equazioni linearmente dipendenti, sicché dobbiamo attribuire ad una delle tre incognite il ruolo di parametro. Poniamo x=\alpha\in\mathbb{R} e procediamo con il metodo di sostituzione

    \begin{cases}x=\alpha\\ y=0\\ z=0\end{cases}

    Da qui è immediato vedere che l'autospazio relativo all'autovalore t=1 è dato da

    \left\{\left[\begin{matrix}\alpha\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]\ :\ \alpha\in\mathbb{R}\right\}

    e, ricordando il metodo per estrarre una base dallo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, otteniamo ad esempio come base di autovettori

    \left\{\left[\begin{matrix}1\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]\right\}

    Attenzione a non confondere il concetto di base costituita da autovettori con gli autovettori (che sono infiniti).

    Poiché la base è costituita da un solo vettore, concludiamo che la dimensione dell'autospazio associato a t=1 è pari ad 1 e dunque t=1 è un autovalore con molteplicità geometrica pari a 1.

    Autospazio ed autovettori relativi all'autovalore t=-1

    Procediamo in modo del tutto analogo al caso precedente: consideriamo

    (A+I)\underline{v}=\underline{0}\ \to\ \left[\begin{matrix}2 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y \\ z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}0\\ 0\\ 0\end{matrix}\right]

    e scriviamo il sistema sotto forma di equazioni

    \begin{cases}2x+z=0\\ y+z=0\\ y+z=0\end{cases}

    da cui ricaviamo

    \begin{cases}x=-\frac{z}{2}\\ z=-y\\ y=\beta\in\mathbb{R}\end{cases}

    e quindi

    \begin{cases}x=\frac{\beta}{2}\\ y=\beta\\ z=-\beta\end{cases}

    Di conseguenza l'autospazio relativo all'autovalore t=-1 è dato da

    \left\{\left[\begin{matrix}\frac{\beta}{2}\\ \beta\\ -\beta\end{matrix}\right]\ :\ \beta\in\mathbb{R}\right\}

    e ne possiamo considerare come base di autovettori

    \left\{\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\ 1\\ -1\end{matrix}\right]\right\}

    oppure, perché no :)

    \left\{\left[\begin{matrix}1 \\ 2 \\ -2\end{matrix}\right]\right\}

    Ad ogni modo t=-1 è un autovalore con molteplicità geometrica 1.

     

    Fine. Come considerazione finale, da quanto abbiamo ricavato è immediato capire che A non è una matrice diagonalizzabile. ;)

    Risposta di Omega
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