Autovettori e autospazi, come si calcolano?

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Vorrei sapere come si calcolano autovalori, autovettori e autospazi di una matrice. Potete farmi un esempio di svolgimento con una matrice da voi presa a piacere?

 

Io so iniziare, calcolando gli autovalori: aggiungo "-t" agli elementi della diagonale maggiore, calcolo il determinante e da qui mi ricavo gli autovalori.

 

Poi però mi confondo tra molteplicità algebrica e geometrica e nel calcolo degli autospazi e degli autovettori.

Domanda di namis

 
Soluzioni

  • Del calcolo di autovalori, autovettori ed autospazi di una matrice parliamo nel dettaglio nelle nostre lezioni su matrici e vettori.

    Ti rimando prima o dopo alla lettura della lezione e delle lezioni di approfondimento che linkerò nel corso della mia risposta.

    A titolo di esempio, vediamo come calcolare gli autovalori della matrice

    A = [1 0 1 ; 0 0 1 ; 0 1 0]

    Per definizione gli autovalori di una matrice sono gli zeri del polinomio caratteristico p(t) della matrice, ossia le soluzioni dell'equazione

    p(t) = 0

    dove il polinomio caratteristico p(t) è definito mediante il determinante di un'opportuna matrice:

    p(t) = det(A-t I)

    dove I denota la matrice identità.

    Calcoliamo il polinomio caratteristico della matrice considerata

    p(t) = det(A-t I) = [1-t 0 1 ; 0 -t 1 ; 0 1 -t]

    Dato che abbiamo a che fare con una matrice 3x3 possiamo usare la regola di Sarrus

    p(t) = (1-t)(-t)(-t)+0+0-0-0-(1-t)·(1)·(1) = -t^3+t^2+t-1

    Per calcolare gli autovalori consideriamo l'equazione omogenea associata

    p(t) = 0 → -t^3+t^2+t-1 = 0

    e per risolverla conviene procedere con un raccoglimento parziale, per poi applicare la legge di annullamento del prodotto

    -t^2(t-1)+t^2+(t-1) = 0 → (-t^2+1)(t-1) = 0

    Da cui ricaviamo le soluzioni t = 1 (ripetuta due volte) e t = -1.

    Gli autovalori della matrice A sono quindi t = 1 con molteplicità algebrica 2 e t = 1 con molteplicità algebrica 1.

    Ora procediamo al calcolo degli autospazi, che per definizione sono i sottospazi vettoriali di autovettori associati a ciascuno degli autovalori.

    Nel nostro caso ci sono due autospazi ed essi sono sottospazi vettoriali di R^3.

    Autospazio ed autovettori relativi all'autovalore t = 1

    Per definizione di autospazio e di autovettore, dobbiamo considerare il sistema lineare

    (A-tI) underlinev = underline0

    dove underlinev è il vettore delle incognite e dove sostituiremo in luogo di t l'autovalore considerato.

    Lo spazio delle soluzioni è detto autospazio relativo all'autovalore t, mentre le soluzioni underlinev (ossia gli elementi dell'autospazio) sono detti autovettori relativi all'autovalore t.

    Scriviamo il sistema in forma matriciale con t = 1

    (A-I) underlinev = underline0 → [0 0 1 ; 0 -1 1 ; 0 1 -1][x ; y ; z ] = [0 ; 0 ; 0]

    ossia, eseguendo i prodotti riga per colonna

    z = 0 ;-y+z = 0 ; y-z = 0

    Il sistema lineare presenta due equazioni linearmente dipendenti, sicché dobbiamo attribuire ad una delle tre incognite il ruolo di parametro. Poniamo x = α∈R e procediamo con il metodo di sostituzione

    x = α ; y = 0 ; z = 0

    Da qui è immediato vedere che l'autospazio relativo all'autovalore t = 1 è dato da

    [α ; 0 ; 0] : α∈R

    e, ricordando il metodo per estrarre una base dallo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo, otteniamo ad esempio come base di autovettori

    [1 ; 0 ; 0]

    Attenzione a non confondere il concetto di base costituita da autovettori con gli autovettori (che sono infiniti).

    Poiché la base è costituita da un solo vettore, concludiamo che la dimensione dell'autospazio associato a t = 1 è pari ad 1 e dunque t = 1 è un autovalore con molteplicità geometrica pari a 1.

    Autospazio ed autovettori relativi all'autovalore t = -1

    Procediamo in modo del tutto analogo al caso precedente: consideriamo

    (A+I) underlinev = underline0 → [2 0 1 ; 0 1 1 ; 0 1 1][x ; y ; z ] = [0 ; 0 ; 0]

    e scriviamo il sistema sotto forma di equazioni

    2x+z = 0 ; y+z = 0 ; y+z = 0

    da cui ricaviamo

    x = -(z)/(2) ; z = -y ; y = β∈R

    e quindi

    x = (β)/(2) ; y = β ; z = -β

    Di conseguenza l'autospazio relativo all'autovalore t = -1 è dato da

    [(β)/(2) ; β ;-β] : β∈R

    e ne possiamo considerare come base di autovettori

    [(1)/(2) ; 1 ;-1]

    oppure, perché no :)

    [1 ; 2 ;-2]

    Ad ogni modo t = -1 è un autovalore con molteplicità geometrica 1.

     

    Fine. Come considerazione finale, da quanto abbiamo ricavato è immediato capire che A non è una matrice diagonalizzabile. ;)

    Risposta di Omega
 
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