Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\left(1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)^{\tfrac{2}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}\ln\left(3\cdot\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}\right)=

    genera delle forme indeterminate multiple che possono essere risolte effettuando la sostituzione t=\frac{\pi}{2}-x da cui segue che quando x tende a \frac{\pi}{2}, la variabile t tende a 0.

    Grazie alla sostituzione, il limite si esprime nella forma equivalente

    =\lim_{t\to 0}(1+\sin(t))^{\tfrac{2}{\sin(t)}}\ln\left(3\cdot\frac{1-\cos(t)}{t^2}\right)=

    Concordemente con l'algebra dei limiti possiamo scrivere il limite del prodotto come prodotto di limiti ossia:

    =\lim_{t\to 0}(1+\sin(t))^{\tfrac{2}{\sin(t)}}\cdot\lim_{t\to 0}\ln\left(3\cdot\frac{1-\cos(t)}{t^2}\right)=(\bullet)

    Risolviamoli separatamente partendo dal limite

    \lim_{t\to 0}(1+\sin(t))^{\tfrac{2}{\sin(t)}}=(\bullet\bullet)

    che è riconducibile al limite notevole generalizzato

    \lim_{h(t)\to 0}(1+h(t))^{\tfrac{1}{h(t)}}=e

    applicando semplicemente le proprietà delle potenze, mediante le quali possiamo scrivere

    (\bullet\bullet)=\lim_{t\to 0}\left[\left(1+\sin(t)\right)^{\tfrac{1}{\sin(t)}}\right]^{2}=e^{2}

    Calcoliamo il secondo limite

    \lim_{t\to 0}\ln\left(3\cdot\frac{1-\cos(t)}{t^2}\right)=(\bullet\bullet\bullet)

    facendo uso del limite notevole relativo alla funzione coseno:

    \lim_{t\to 0}\frac{1-\cos(t)}{t^2}=\frac{1}{2}

    mediante il quale concludiamo che il limite del fattore con il logaritmo vale \ln\left(\frac{3}{2}\right)

    (\bullet\bullet\bullet)=\ln\left(\frac{3}{2}\right)

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo concludere che il limite iniziale vale e^{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right)

    (\bullet)=e^{2}\ln\left(\frac{3}{2}\right)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
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