Limite di una successione a segni alterni

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Salve! Come si risolve il limite di una successione a segni alternati come in questo caso? Mi sembra abbastanza difficile

 

lim_(n → ∞)(-1)^n (sin((3)/(n))(n-√(n^2+7)))/(ln(1+(1)/(n)))

Domanda di Nicoló

 
Soluzioni

  • Ciao nicolò arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • ok grazie!!Sealed

    Risposta di Nicoló

  • Iniziamo:

    lim_(n → ∞)(-1)^n (sin((3)/(n))(n-√(n^2+7)))/(ln(1+(1)/(n)))

    Osserviamo che vale la seguente maggiorazione

    |(-1)^n (sin((3)/(n))(n-√(n^2+7)))/(ln(1+(1)/(n)))| ≤ (sin((3)/(n))|n-√(n^2+7)|)/(ln(1+(1)/(n)))

    Di conseguenza, in riferimento ai limiti

    lim_(n → ∞)|(-1)^n (sin((3)/(n))(n-√(n^2+7)))/(ln(1+(1)/(n)))| ≤ lim_(n → ∞)(sin((3)/(n))|n-√(n^2+7)|)/(ln(1+(1)/(n)))

    Ora consideriamo le equivalenze asintotiche date dai limiti notevoli di successioni

    sin((3)/(n)) ~ _(∞)(3)/(n)

    mentre:

    ln(1+(1)/(n)) ~ _(∞) (1)/(n)

    Sostituiamo queste stime asintotiche:

    lim_(n → ∞)(sin((3)/(n))|n-√(n^2+7)|)/(ln(1+(1)/(n))) (1.1)

    diventa:

    lim_(n → ∞)((3)/(n)|n-√(n^2+7)|)/((1)/(n))

    semplificando:

    lim_(n → ∞)3|n-√(n^2+7)| =

    A questo punto dobbiamo risolvere questo limite:

    = 3|lim_(n → ∞) n-√(n^2+7)|

    moltiplichiamo e dividiamo per n+√(n^2+7) in modo da razionalizzare al contrario

    = 3 |lim_(n → ∞)((n-√(n^2+7))(n+√(n^2+7)))/(n+√(n^2+7))| =

    = 3|lim_(n → ∞)(n^2-n^2-7)/(n+√(n^2+7))| =

    = 3|lim_(n → ∞)(-7)/(n+√(n^2+7))| = 0

    Poiché il limite (1.1) è zero lo sarà anche il limite di partenza per il criterio del confronto.

    Risposta di Ifrit

  • ma se raccolgo n^2 nella radice e lo porto fuori trovando (n-n(√(1+7/n^2)) poi raccolgo ancora n e trovo n(1-1) e la stessa cosa vero??

    Risposta di Nicoló

  • Non esattamente 

    Se fai in questo modo:

    lim_(n → ∞)n-√(n^2+7) = lim_(n → ∞) n-n√(1+(7)/(n^2)) =

    lim_(n → ∞)n(1-√(1+(7)/(n^2))) = [∞·0]

    è una forma indeterminata, e non puoi dire nulla sul limite. Il modo canonico per risolvere questo tipo di limiti è razionalizzare :)

    Risposta di Ifrit

  • ok grazie mille!!

    Risposta di Nicoló
 
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