Soluzioni
  • Per il teorema di Rouché Capelli, un sistema è compatibile se il rango della matrice incompleta A associata al sistema è uguale al rango della matrice completa (A|\mathbf{b}).

    Le matrici incompleta e completa riferite al sistema

    \begin{cases}2x-y+z=2 \\ x+2y+t=0 \\ x-3y+z-t=3\end{cases}

    sono:

    A=\begin{pmatrix}2&-1&1&0 \\ 1&2&0&1 \\ 1&-3&1&-1\end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ (A|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}2&-1&1&0 \\ 1&2&0&1 \\ 1&-3&1&-1\end{matrix}\right|\left \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 3\end{matrix} \right)

    Calcoliamone il rango.

    Rango della matrice incompleta

    Prima di gettarci a capofitto nei calcoli osserviamo che A è una matrice non nulla con 3 righe e 4 colonne, per cui il rango di A è compreso tra 1 e il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne di A, che è 3.

    1 \le \mbox{rk}(A) \le 3

    Inoltre, la prima riga di A è uguale alla somma tra la seconda e la terza

    R_3 = R_1+R_2

    Da ciò deduciamo che il rango di A non è massimo, e quindi

    1 \le \mbox{rk}(A) \le 2

    Affinché il rango di A sia 2, deve esistere un minore non nullo di A di ordine 2.

    La sottomatrice che si ottiene da A eliminandone l'ultima riga e le ultime due colonne ha determinante diverso da zero

    \mbox{det}\begin{pmatrix}2&-1 \\ 1&2\end{pmatrix} = 4-(-1) = 4+1=5

    per cui il rango di A è 2.

    Rango della matrice completa

    (A|\mathbf{b}) è una matrice non nulla 3 \times 5, pertanto il suo rango è compreso tra 1 e 3. Osserviamo, inoltre, che A è una sottomatrice di (A|\mathbf{b}) di rango 2, dunque il rango di (A|\mathbf{b}) è al minimo 2, ossia

    2 \le \mbox{rk}(A|\mathbf{b}) \le 3

    Per il criterio dei minori, \mbox{rk}(A|\mathbf{b}) = 3 se e solo se esiste una sottomatrice di (A|\mathbf{b}) di ordine 3 con determinante diverso da zero.

    Eliminiamo le prime due colonne di (A|\mathbf{b}) e calcoliamo il determinante della sottomatrice risultante

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&0&2 \\ 0&1&0 \\ 1&-1&3\end{pmatrix}=

    procediamo con uno sviluppo di Laplace rispetto alla seconda riga

    \\ =(-1)^{2+2} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}1&2 \\ 1&3\end{pmatrix} = \\ \\ = \mbox{det}\begin{pmatrix}1&2 \\ 1&3\end{pmatrix} = 3-2 = 1 \neq 0

    Abbiamo trovato una sottomatrice 3x3 con determinante diverso da zero, dunque il rango della matrice completa è 3.

    Studio della compatibilità del sistema

    I ranghi delle due matrici sono diversi e quindi, per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema è impossibile, cioè non ha soluzioni.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare