Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione nell'incognita complessa z\in\mathbb{C}

    z^4-i(|i-2|^{2})z=0

    calcoliamoci a parte il modulo del numero complesso i-2, espresso nella forma algebrica: estraiamo la radice quadrata della somma tra il quadrato della parte reale  e il quadrato della parte immaginaria

    |i-2|=\sqrt{[Re(i-2)]^2+[Im(i-2)]^2}=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}

    Elevando i due membri al quadrato e  sfruttando la definizione di radicale otteniamo

    |i-2|^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5

    in questo modo siamo autorizzati a scrivere l'equazione iniziale nella forma equivalente

    z^4-5iz=0

    Raccogliamo totalmente il fattore comune z

    z(z^3-5i)=0

    e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, il quale assicura che un prodotto è nullo nel momento in cui almeno uno dei fattori che lo compongono è a sua volta nullo. Otteniamo così due equazioni

    z=0\vee z^3-5i=0

    la prima delle quali fornisce direttamente una soluzione dell'equazione.

    Le restanti soluzioni si ottengono dall'equazione

    z^3-5i=0

    che equivale a calcolare le radici cubiche del numero complesso 5i:

    z^3=5i

    Per farlo, innanzitutto calcoliamo modulo e argomento di 5i. Essendo un numero con parte reale nulla e parte immaginaria positiva, otteniamo immediatamente che

    |5i|=5 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ Arg(5i)=\frac{\pi}{2}

    Ora possiamo utilizzare la formula per il calcolo delle radici di un numero complesso:

    z_{k}=\sqrt[3]{|5i|}\left[\cos\left(\frac{Arg(5i)+2k\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{Arg(5i)+2k\pi}{2}\right)\right]

    dove k=0,1,2. Rimpiazzando i valori, otteniamo le tre radici cubiche di 5i espresse nella forma trigonometrica

    \\ z_0=\sqrt[3]{5}\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right] \\ \\ \\ z_{1}=\sqrt[3]{5}\left[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right] \\ \\ \\ z_{2}=\sqrt[3]{5}\left[\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right]

    Per concludere con stile il problema, possiamo passare dalla forma trigonometrica alla forma algebrica, valutando seno e coseno nei rispettivi angoli.

    Se necessario, utilizziamo la tabella dei valori notevoli delle funzioni trigonometriche per ottenere

    \\ z_{0}=\sqrt[3]{5}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right] \ \ \ ; \ \ \ z_{1}=\sqrt[3]{5}\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right] \\ \\ \\ z_2=-\sqrt[3]{5}i \ \ \ ; \ \ \ z_{3}=0

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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