Soluzioni
  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti Wink

    Risposta di Omega
  • grazie 1000

    Risposta di Nicoló
  • Eccoci: per calcolare l'integrale

    \int{\frac{\log{(x+7)}}{x^2}dx}

    integriamo per parti prendendo 1/x^2 come derivata, che ha come primitiva x^{-1}/(-1). Otteniamo

    \int{\frac{\log{(x+7)}}{x^2}dx}=-\frac{1}{x}\log{(x+7)}-\int{\frac{1}{-x}\frac{1}{x+7}dx}

    Consideriamo solamente

    \int{\frac{1}{-x(x+7)}dx}=-\int{\frac{1}{x^2+7x}dx}

    per calcolare tale integrale, ci riconduciamo alla derivata di un'arcotangente iperbolica: per fare ciò, dobbiamo completare il quadrato a denominatore

    -\int{\frac{1}{x^2+7x}dx}=-\int{\frac{1}{x^2+7x+\frac{49}{4}-\frac{49}{4}}}

    ossia

    =-\int{\frac{1}{\left(x+\frac{7}{2}\right)^2-\frac{49}{4}}dx}

    Sostituiamo

    u=x+\frac{7}{2}

    quindi il differenziale della trasformazione inversa

    x=u-\frac{7}{2}

    è dx=du. Otteniamo

    =-\int{\frac{1}{u^2-\frac{49}{4}}du}=-\int{\frac{1}{\frac{49}{4}\left(\frac{4}{49}u^2-1\right)}du}

    =-\int{\frac{1}{\left(\frac{4}{49}u^2-1\right)}\frac{4}{49}du}=

    =-\frac{2}{7}\int{\frac{1}{\left(\frac{4}{49}u^2-1\right)}\frac{2}{7}du}=

    L'integranda è proprio la primitiva dell'arcotangente iperbolica:

    =-\frac{2}{7}arctanh{\left(\frac{2}{7}u\right)}

    Ora si tratta solamente di effettuare la sostituzione al contrario, e ricomporre con il risultato della formula di integrazione per parti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ook!! molto gentile, grazie!!

    Risposta di Nicoló
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