Integrale fratto con logaritmo (integrale per parti?)

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Buona sera! Ho un integrale fratto con un logaritmo e volevo chiedere se era possibile vedere come risolverlo? Si procede forse per parti?

 

Integrale di log(x+7) / x^2 dx

 

Aspettando una risposta ringrazio chi se ne occuperà!

Domanda di Nicoló

 
Soluzioni

  • Ciao Nicolò, arrivo a risponderti Wink

    Risposta di Omega

  • grazie 1000

    Risposta di Nicoló

  • Eccoci: per calcolare l'integrale

    ∫(log(x+7))/(x^2)dx

    integriamo per parti prendendo 1/x^2 come derivata, che ha come primitiva x^(-1)/(-1). Otteniamo

    ∫(log(x+7))/(x^2)dx = -(1)/(x)log(x+7)-∫(1)/(-x)(1)/(x+7)dx

    Consideriamo solamente

    ∫(1)/(-x(x+7))dx = -∫(1)/(x^2+7x)dx

    per calcolare tale integrale, ci riconduciamo alla derivata di un'arcotangente iperbolica: per fare ciò, dobbiamo completare il quadrato a denominatore

    -∫(1)/(x^2+7x)dx = -∫(1)/(x^2+7x+(49)/(4)-(49)/(4))

    ossia

    = -∫(1)/((x+(7)/(2))^2-(49)/(4))dx

    Sostituiamo

    u = x+(7)/(2)

    quindi il differenziale della trasformazione inversa

    x = u-(7)/(2)

    è dx = du. Otteniamo

    = -∫(1)/(u^2-(49)/(4))du = -∫(1)/((49)/(4)((4)/(49)u^2-1))du

    = -∫(1)/(((4)/(49)u^2-1))(4)/(49)du =

    = -(2)/(7)∫(1)/(((4)/(49)u^2-1))(2)/(7)du =

    L'integranda è proprio la primitiva dell'arcotangente iperbolica:

    = -(2)/(7)arctanh((2)/(7)u)

    Ora si tratta solamente di effettuare la sostituzione al contrario, e ricomporre con il risultato della formula di integrazione per parti.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ook!! molto gentile, grazie!!

    Risposta di Nicoló
 
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