Limite di una successione parametrica

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Devo studiare e calcolare il limite di una successione parametrica contenente il parametro Beta. Mi aiutate?

 

lim_(n → ∞)((1-cos((1)/(n)))^2 ln[(e^3+(1)/(n))^n])/((√(n+4))^(β))

 

Grazie!!

Domanda di Nicoló

 
Soluzioni

  • Ok, allora iniziamo con le stime asintotiche suggerite dai limiti notevoli delle successioni

    1-cos((1)/(n)) ~ _(∞)(1)/(2)(1)/(n^2)

    Di conseguenza:

    (1-cos((1)/(n))) ~ _(∞) (1)/(4 n^4)

    Mentre, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

    ln[(e^3+(1)/(n))^n] = n ln(e^3+(1)/(n)) =

    n ln(e^(3)(1+(1)/(e^3 n))) =

    e grazie ad un'ulteriore proprietà

    n(ln(e^3)+ln(1+(1)/(e^3 n))) ~ _(∞) 3n

    Quindi il numeratore è asintotico a 

    (1-cos(1/n))^2 ln((e^3+1/n)^n) ~ _(∞) 3n·(1)/(4 n^4) = (3)/(4 n^3)

    Il denominatore invece:

    √(4+n) ~ _(∞)n^((1)/(2))

    Di conseguenza:

    (√(4+n))^(β) ~ _(∞)n^((β)/(2))

    l'intera successione è asintoticamente equivalente a:

    ((1-cos(1/n))^2 ln(e^3+1/n))/((√(4+n))^(β)) ~ _(∞) ((3)/(4 n^3))/(n^(β/2)) =

    = (3)/(4)n^(-3-(β)/(2))

    Possiamo quindi studiare il limite al variare del parametro

    lim_(n → ∞)(3)/(4)n^(-3-(β)/(2)) = (3)/(4) se -3-(β)/(2) = 0 ; 0 se -3-(β)/(2) < 0 ;+∞ se -3-(β)/(2) > 0

    Risolvendo l'equazione hai che se beta= -6 allora il limite è 3/4

    se beta è minore di -6 allora il limite è infinito

    se beta è maggiore di -6 allora il limite è zero.

    Risposta di Ifrit
 
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