Limite di una successione parametrica

Question

Devo studiare e calcolare il limite di una successione parametrica contenente il parametro Beta. Mi aiutate? lim_(n → ∞)((1-cos((1)/(n)))^2 ln[(e^3+(1)/(n))^n])/((√(n+4))^(β)) Grazie!!

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Ok, allora iniziamo con le stime asintotiche suggerite dai limiti notevoli delle successioni 1-cos((1)/(n)) ~ _(∞)(1)/(2)(1)/(n^2) Di conseguenza: (1-cos((1)/(n))) ~ _(∞) (1)/(4 n^4) Mentre, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi ln[(e^3+(1)/(n))^n] = n ln(e^3+(1)/(n)) = n ln(e^(3)(1+(1)/(e^3 n))) = e grazie ad un'ulteriore proprietà n(ln(e^3)+ln(1+(1)/(e^3 n))) ~ _(∞) 3n Quindi il numeratore è asintotico a (1-cos(1/n))^2 ln((e^3+1/n)^n) ~ _(∞) 3n·(1)/(4 n^4) = (3)/(4 n^3) Il denominatore invece: √(4+n) ~ _(∞)n^((1)/(2)) Di conseguenza: (√(4+n))^(β) ~ _(∞)n^((β)/(2)) l'intera successione è asintoticamente equivalente a: ((1-cos(1/n))^2 ln(e^3+1/n))/((√(4+n))^(β)) ~ _(∞) ((3)/(4 n^3))/(n^(β/2)) = (3)/(4)n^(-3-(β)/(2)) Possiamo quindi studiare il limite al variare del parametro lim_(n → ∞)(3)/(4)n^(-3-(β)/(2)) = (3)/(4) se -3-(β)/(2) = 0 ; 0 se -3-(β)/(2) < 0 ;+∞ se -3-(β)/(2) > 0 Risolvendo l'equazione hai che se beta = -6 allora il limite è 3/4 se beta è minore di-6 allora il limite è infinito se beta è maggiore di-6 allora il limite è zero.