Limite di una successione parametrica

Devo studiare e calcolare il limite di una successione parametrica contenente il parametro Beta. Mi aiutate?

 

\lim_{n\to \infty}\frac{(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right))^2 \ln[\left(e^3+\frac{1}{n}\right)^n]}{(\sqrt{n+4})^{\beta}}

 

Grazie!!

In Uni - Analisi - Domanda di Nicoló

Soluzioni

  • Ok, allora iniziamo con le stime asintotiche suggerite dai limiti notevoli delle successioni

    1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\sim_{\infty}\frac{1}{2}\frac{1}{n^2}

    Di conseguenza:

    \left(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)\sim_{\infty} \frac{1}{4 n^4}

    Mentre, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

    \ln\left[\left(e^3+\frac{1}{n}\right)^n\right]= n \ln\left(e^3+\frac{1}{n}\right)=

    n \ln\left(e^{3}\left(1+\frac{1}{e^3 n}\right)\right)=

    e grazie ad un'ulteriore proprietà

    n\left(\ln(e^3)+\ln(1+\frac{1}{e^3 n})\right)\sim_{\infty} 3n

    Quindi il numeratore è asintotico a 

    (1-\cos(1/n))^2 \ln((e^3 +1/n)^n)\sim_{\infty} 3n\cdot \frac{1}{4 n^4}= \frac{3}{4 n^3}

    Il denominatore invece:

    \sqrt{4+n}\sim_{\infty}n^{\frac{1}{2}}

    Di conseguenza:

    (\sqrt{4+n})^{\beta}\sim_{\infty}n^{\frac{\beta}{2}}

    l'intera successione è asintoticamente equivalente a:

    \frac{(1-\cos(1/n))^2 \ln(e^3+1/n)}{(\sqrt{4+n})^{\beta}}\sim_{\infty} \frac{\frac{3}{4 n^3}}{n^{\beta/2}}=

    =\frac{3}{4}n^{-3-\frac{\beta}{2}}

    Possiamo quindi studiare il limite al variare del parametro

    \lim_{n\to \infty}\frac{3}{4}n^{-3-\frac{\beta}{2}}= \begin{cases}\frac{3}{4}&\mbox{ se }-3-\frac{\beta}{2}=0\\ 0 &\mbox{ se } -3-\frac{\beta}{2}\textless 0 \\ +\infty&\mbox{ se } -3-\frac{\beta}{2}\textgreater 0\end{cases}

    Risolvendo l'equazione hai che se beta= -6 allora il limite è 3/4

    se beta è minore di -6 allora il limite è infinito

    se beta è maggiore di -6 allora il limite è zero.

    Risposta di Ifrit
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