Limite esponenziale con base fratta

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Devo calcolare il seguente limite riconducendomi al limite notevole che definisce il numero di Nepero, ma non ho idea di come si possa fare

 

lim_(x → +∞)((x+2)/(x+1))^(x)

 

Grazie

Domanda di fioccoSmile

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → +∞)((x+2)/(x+1))^(x) = (•)

    genera una forma indeterminata del tipo [1^(+∞)] che possiamo sciogliere riconducendoci mediante dei trucchi algebrici al limite notevole neperiano in forma generale

    lim_(h(x) → +∞)(1+(1)/(h(x)))^(h(x)) = e

    Come procedere? Il barbatrucco consiste nell'esprimere x+2 come x+1+1 ossia rivedere il limite come

    = lim_(x → +∞)((x+1+1)/(x+1))^(x) =

    e in seguito distribuire sagacemente il denominatore

    = lim_(x → +∞)((x+1)/(x+1)+(1)/(x+1))^(x) =

    Così facendo siamo autorizzati a semplificare x+1 e scrivere il limite come segue

    = lim_(x → +∞)(1+(1)/(x+1))^(x) =

    Ci manca solo un +1 all'esponente per ricondurci al limite notevole neperiano e possiamo farlo apparire con un altro trucco algebrico: è sufficiente sommare e sottrarre 1 all'esponente

    = lim_(x → +∞)(1+(1)/(x+1))^(x+1-1) =

    Invochiamo le proprietà delle potenza mediante le quali possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    = lim_(x → +∞)(1+(1)/(x+1))^(x+1)·(1+(1)/(x+1))^(-1) =

    Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

    = lim_(x → +∞)(1+(1)/(x+1))^(x+1)·lim_(x → +∞)(1+(1)/(x+1))^(-1) = e·1

    Sottolineiamo che il primo limite è esattamente il limite notevole neperiano in forma generale e vale e, il secondo limite vale 1 e il risultato si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Risposta di Ifrit
 
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