Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [1^{+\infty}] che possiamo sciogliere riconducendoci mediante dei trucchi algebrici al limite notevole neperiano in forma generale

    \lim_{h(x)\to+\infty}\left(1+\frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}=e

    Come procedere? Il barbatrucco consiste nell'esprimere x+2 come x+1+1 ossia rivedere il limite come

    =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1+1}{x+1}\right)^{x}=

    e in seguito distribuire sagacemente il denominatore

    =\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)^{x}=

    Così facendo siamo autorizzati a semplificare x+1 e scrivere il limite come segue

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}=

    Ci manca solo un +1 all'esponente per ricondurci al limite notevole neperiano e possiamo farlo apparire con un altro trucco algebrico: è sufficiente sommare e sottrarre 1 all'esponente

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x+1-1}=

    Invochiamo le proprietà delle potenza mediante le quali possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}\cdot\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{-1}=

    Scriviamo il limite del prodotto come prodotto di limiti

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}\cdot\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{-1}=e\cdot 1

    Sottolineiamo che il primo limite è esattamente il limite notevole neperiano in forma generale e vale e, il secondo limite vale 1 e il risultato si giustifica mediante l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

    Risposta di Ifrit
 
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