Soluzioni
  • Il sottospazio generato dalle matrici

    B=\begin{pmatrix} 0&5 \\ -1&0\end{pmatrix} \ \ ; \ \ C=\begin{pmatrix}3&-2 \\ 1&1\end{pmatrix} \ \ ; \ \ D=\begin{pmatrix}4&2 \\ 3&-1\end{pmatrix}

    è

    V=\mbox{Span}\left(B,C,D\right)

    e si definisce come l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari delle matrici B,C,D:

    V=\mbox{Span}\left(B,C,D\right)=\{\lambda_1 B + \lambda_2 C + \lambda_3 D \ | \ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}\}

    Con questa premessa, la matrice

    A=\begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix}

    appartiene al sottospazio generato da B,C,D se e solo se A si può scrivere come combinazione lineare di B,C,D, ossia se e solo se esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} tali che

    A=\lambda_1 B + \lambda_2 C + \lambda_3 D

    Sostituiamo le quattro matrici

    \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix} = \lambda_1 \begin{pmatrix} 0&5 \\ -1&0\end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}3&-2 \\ 1&1\end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix}4&2 \\ 3&-1\end{pmatrix}

    Calcoliamo i prodotti scalare-matrice

    \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&5\lambda_1 \\ -\lambda_1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\lambda_2&-2\lambda_2 \\ \lambda_2&\lambda_2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\lambda_3&2\lambda_3 \\ 3\lambda_3&-\lambda_3\end{pmatrix}

    e calcoliamo la somma matriciale

    \begin{pmatrix}0&0 \\ 1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\lambda_2+4\lambda_3 && 5\lambda_1-2\lambda_2+2\lambda_3 \\ \\ -\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3 && \lambda_2-\lambda_3\end{pmatrix}

    Due matrici dello stesso tipo sono uguali quando coincidono gli elementi che hanno la stessa posizione, per cui dev'essere

    \begin{cases}3\lambda_2+4\lambda_3=0 \\ 5\lambda_1-2\lambda_2+2\lambda_3=0 \\ -\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=1 \\ \lambda_2-\lambda_3=0\end{cases}

    Siamo così passati a un sistema lineare di quattro equazioni nelle incognite \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3.

    La matrice dei coefficienti a esso associata è

    M=\begin{pmatrix}0&3&4 \\ 5&-2&2 \\ -1&1&3 \\ 0&1&-1\end{pmatrix}

    mentre la matrice completa è

    (M|\mathbf{b})=\left(\begin{matrix}0&3&4 \\ 5&-2&2 \\ -1&1&3 \\ 0&1&-1\end{matrix}\right|\left\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\right)

    Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette soluzione, e quindi A appartiene al sottospazio generato da B,C,D, se e solo se le matrici rappresentative del sistema hanno lo stesso rango.

    Calcoliamo il rango della matrice completa con il criterio dei minori. (M|\mathbf{b}) è una matrice quadrata 4 \times 4 per cui ha rango 4 se il suo determinante è diverso da zero. Calcoliamolo con uno sviluppo di Laplace riferito alla quarta colonna, in quanto ha tre termini nulli.

    \\ \mbox{det}(M|\mathbf{b})=\mbox{det}\begin{pmatrix}0&3&4&0 \\ 5&-2&2&0 \\ -1&1&3&1 \\ 0&1&-1&0\end{pmatrix} = \\ \\ \\ = (-1)^{3+4} \cdot 1 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}0&3&4 \\ 5&-2&2 \\ 0&1&-1\end{pmatrix}=

    Per sviluppare il nuovo determinante usiamo ancora Laplace, riferito alla prima colonna

    \\ =-1 \cdot \left[(-1)^{2+1} \cdot 5 \cdot \mbox{det}\begin{pmatrix}3&4 \\ 1&-1\end{pmatrix}\right] = \\ \\ = -1 \cdot [-5 \cdot (-3-4)] = 5 \cdot (-7) = -35

    Poiché il determinante della matrice completa è diverso da zero il suo rango è 4.

    La matrice incompleta è det tipo 4 \times 3, per cui il suo rango è al più 3: di conseguenza i ranghi delle due matrici sono diversi, e quindi il sistema è impossibile.

    Ciò vuol dire che non esistono \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R} tali per cui

    A=\lambda_1 B + \lambda_2 C + \lambda_3 D

    e quindi A non appartiene al sottospazio vettoriale generato da B,C,D.

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Galois
 
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