Calcolare la probabilità di vittoria di due giocatori

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Ho un problema standard da esame di Probabilità in cui devo trovare la probabilità che due giocatori vincano in una partita di dadi. Come posso risolverlo ragazzi?

 

Tizio e Caio giocano con 2 dadi.Tizio vince se esce 7, Caio vince se esce 6. Caio gioca per primo e in seguito continuano a tirare i dadi alternativamente finché uno dei due non vince. Calcolare la probabilità di vittoria di ciascun giocatore.

Domanda di Danielenonlasà

 
Soluzioni

  • Ciao Danielenonlasà, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Prima osservazione: dobbiamo calcolare la probabilità che in una singola estrazione vinca il primo giocatore, non vinca il primo giocatore, vinca il secondo giocatore, non vinca il secondo giocatore.

    Tutte le possibili coppie di risultati sono, in tutto, 36.

    Il primo giocatore vince se la somma dei risultati è 7, e le coppie possibili sono date da

    (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

    quindi la probabilità che il primo giocatore vinca in una singola giocata è 6/36 = 1/6; la probabilità che non vinca è 1-(1)/(6) = (5)/(6) (evento complementare); per la probabilità che vinca il secondo giocatore, ci serve il numero di coppie tali per cui la somma dei loro elementi sia pari a 6:

    (2,4),(3,3),(4,2)

    quindi la probabilità che il secondo giocatore vinca in una singola giocata è 3/36 = 1/12, mentre la probabilità che perda è 1-1/12 = 11/12.

    Qui dobbiamo fare ricorso alle catene di Markov: le hai studiate?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • purtroppo no..il professore ha suggerito di utilizzare una sommatoria infinita

    Risposta di Danielenonlasà

  • In tal caso devo pensarci sù: ti darò una risposta più tardi Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok grazie:)

    Risposta di Danielenonlasà

  • Ok: caloliamo la probabilità che il giocatore 1 vinca al lancio (k+1)-esimo, con k pari: dovremo avere necessariamente k/2 lanci in cui 1 perde e k/2 lanci in cui 2 perde.

    P(1 vince al k-esimo lancio) =

    = P(1 perde al lancio 1 ∩ 2 perde al lancio 2 ∩ ...1 perde al lancio (k-1) ∩ 2 perde al lancio k ∩ 1 vince al lancio k+1) =

    tutti questi sono eventi indipendenti, anche se apparentemente non lo sembrano Laughing e la probabilità dell'intersezione è dunque il prodotto delle singole probabilità

    ((5)/(6))^((k)/(2))((11)/(12))^((k)/(2))((1)/(6)) = (1)/(6)((55)/(72))^((k)/(2))

    Qual'è la probabilità che il giocatore 1 vinca al gioco? La probabilità dell'evento

    "vince al lancio 1" oppure "vince al lancio 3" oppure..."vince al lancio k+1 (dispari)" oppure...

    "Oppure" significa unione, in termini di eventi, e la probabilità dell'unione di eventi a intersezione vuota è la somma delle probabilità dei singoli eventi: per avere la probabilità che il giocatore 1 vinca al gioco dobbiamo sommare le probabilità che vinca nei primi N lanci e passare al limite per N → +∞.

    La somma della serie geometrica che se ne ricava è proprio la probabilità richiesta; per la probabilità che sia il giocatore 2 a vincere la partita, basta calcolare la probabilità dell'evento complementare.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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