Esercizio MCD e mcm tra polinomi

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Riscontro alcune difficoltà nel calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore tra polinomi. So che devo scomporre i polinomi come prodotto di fattori irriducibili, però non ne sono capace. Potreste aiutarmi?

 

Calcolare il M.C.D. e il m.c.m. tra i polinomi

 

a^3b+a^2b^2 ; a^4+a^2b^2+2a^3b ; a^4-a^2b^2

 

Grazie.

Domanda di marcello

 
Soluzioni

  • Per poter calcolare il massimo comune divisore tra polinomi o il minimo comune multiplo tra polinomi bisogna prima di tutto scomporre i polinomi in fattori irriducibili, avvalendosi delle opportune tecniche di fattorizzazione, dopodiché basta rifarsi pedissequamente alle regole teoriche.

    Non perdiamoci troppo in chiacchiere e scomponiamo i polinomi

    a^3b+a^2b^2 ; a^4+a^2b^2+2a^3b ; a^4-a^2b^2

    partendo dal primo, ossia:

    a^3b+a^2b^2 =

    I termini che lo compongono condividono i fattori a^2 e b, pertanto procediamo con il raccoglimento totale:

    = a^2b(a+b)

    Occupiamoci del polinomio

    a^4+a^2b^2+2a^3b =

    i cui termini hanno in comune il fattore a^2: mettendolo in evidenza ricaviamo

    = a^2(a^2+b^2+2ab) =

    Nelle parentesi tonde si è manifestato il trinomio che, a conti fatti, rappresenta lo sviluppo del quadrato del binomio (a+b), infatti compaiono il quadrato di a, il quadrato di b e il loro doppio prodotto.

    = a^2(a+b)^2

    Scomponiamo l'ultimo polinomio

    a^4-a^2b^2 =

    partendo dalla messa in evidenza del fattore comune a^2

    = a^2(a^2-b^2) =

    e fattorizzando in seguito la differenza dei quadrati di a e b come prodotto della loro somma per la loro differenza

    = a^2(a-b)(a+b)

    Riportiamo le scomposizioni, una di seguito all'altra così da facilitare il calcolo del massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.

    • a^3b+a^2b^2 = a^2b(a+b) ; • a^4+a^2b^2+2a^3b = a^2(a+b)^2 ; • a^4-a^2b^2 = a^2(a-b)(a+b)

    Il minimo comune multiplo tra i polinomi è il polinomio ottenuto moltiplicando tra loro i fattori delle scomposizioni, comuni e non comuni, presi una sola volta con il più grande esponente:

    mcm = a^2b(a-b)(a+b)^2

    Il massimo comune divisore tra i polinomi dati è invece il polinomio che si ottiene moltiplicando i fattori comuni, presi una sola volta e con il più piccolo esponente, ossia:

    MCD = a^2(a+b)

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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