Soluzioni
  • Ciao Saretta90, il tempo di leggere, meditare e...rispondere Wink

    Risposta di Omega
  • Ti faccio subito una domanda: cosa sono F,G?

    Risposta di Omega
  • penso 2 polinomi... l'es nn me lo scrive.... mi da le cose che ho scritto... io ho pensato ai polinomi perchè nell'ultima riga che ti ho scritto esce un polinomio... altrimenti nn saprei!!!!

    Risposta di saretta90
  • C'è per caso scritto: la relazione è di equivalenza in \mathbb{Q}[X] ?...

    Risposta di Omega
  • si si scusa... sono io che ho scritto male sopra....

    Risposta di saretta90
  • Nessun problema, figurati! :)

    Bisogna provare che la relazione

    F(X)\sim G(X)\mbox{ se e solo se} F(3)=G(3) \wedge F(1)=G(1)

    è di equivalenza in \mathbb{Q}[X].

    Lo è, proprio perché è riflessiva, simmetrica e transitiva, come d'altra parte hai verificato. Wink

    ---

    Per la seconda relazione

    F(X)\sim G(X)\mbox{ se e solo se} F(3)=G(1) \wedge F(1)=G(3)

    bisogna dire se la relazione è d'ordine o meno, e quindi riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

    Questa relazione però non è nemmeno riflessiva, perché non è vero che

    F(3)=F(1)

    Non trovi? 

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • è vero... per quanto riguarda il resto?

    Risposta di saretta90
  • La relazione

    F\sim G\mbox{ se e solo se }F(3)\geq G(3)

    è d'ordine proprio perché, come hai correttamente verificato, è riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

    ---

    Tornando al primo esercizio, per determinare la classe di equivalenza del polinomio nullo

    [0]_{\sim}

    ci basta considerare tutti i polinomi P\in\mathbb{Q}[X] a coefficienti razionali che si annullano in 1 e in 3, quindi tutte e sole le combinazioni lineari dei polinomi \{(x-1),(x-3)\}, cioè tutti e soli i polinomi che possiamo esprimere nella forma

    Q(x)[a(x-1)+b(x-3)]

    dove a,b\in\mathbb{Q} e Q(x)\in\mathbb{Q}[X].

    Per quanto riguarda invece

    [x^2-4x+3]_{\sim}

    consideriamo le valutazioni del polinomio rappresentante in x=1\mbox{ ; }x=3: chiamiamo il polinomio R(x):=x^2-4x+3, e otteniamo

    R(1)=1-4+3=0

    R(3)=9-12+3=0

    quindi in realtà

    R(x)\in [0]_{\sim}

    e quindi, per le proprietà delle classi di equivalenza

    [R(x)]_{\sim}=[0]_{\sim}

    Se dovessi avere dubbi, non farti alcun problema e chiedi Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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