Soluzioni
  • Ciao Andrea, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il triangolo di area massima è certamente il triangolo equilatero, sia che si restringa il campo di ricerca tra i triangoli isosceli sia che si considerino triangoli qualsiasi: il punto è che la dimostrazione cambia, e parecchio: il testo dell'esercizio cosa ti chiede (o è una tua curiosità)?

    Risposta di Omega
  • mi chiede di trovare qual'è il triangolo di area maggiore iscritto in una circonferenza, quindi devo motivare il perchè della mia risposta, con una specie di dimostrazione

    Risposta di Andrea
  • Ok: triangoli qualsiasi! :)

    Il raggio della circonferenza è irrilevante ai fini del problema, quindi ragioniamo nel caso di una circonferenza di raggio 1: consideriamo in particolare la circonferenza unitaria in un riferimento di assi cartesiani, con centro nell'origine degli assi (0,0)

    A meno di rotazioni, possiamo prendere un lato (che sarà la base del nostro triangolo) parallelo all'asse delle ascisse: osserviamo poi che il terzo vertice (i primi due vengono individuati dal lato orizzontale) ha l'ordinata che individua in modo univoco l'altezza del triangolo.

    L'area del triangolo è il semiprodotto tra base e altezza, e l'altezza è perpendicolare alla base, quindi per avere area massima dovremo necessariamente prendere il terzo vertice nel punto (0,1).

    Possiamo poi individuare il vertice destro della base con le seguenti coordinate:

    (\cos{(\theta)},\sin{(\theta)})

    con \theta\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]. Il vertice sinistro sarà invece individuato dalle coordinate

    (-\cos{(\theta)},\sin{(\theta)})

    Possiamo calcolare l'area del triangolo come semiprodotto tra base e altezza

    S_{tr}(\theta)=\frac{1}{2}(2\cos{(\theta)})(1-\sin{(\theta)})

    Nota che l'area è una funzione di \theta, se preferisci puoi chiamare x:=\theta.

    Ora si tratta di massimizzare tale funzione studiandone la derivata prima. Fin qui tutto chiaro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sì sì, ci sono, quindi la dimostrazione è di tipo analitico, facendo la derivata ci dovrei arrivare..

    Grazie mille!

    Risposta di Andrea
  • Prego!

    Namasté!

    Risposta di Omega
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