Soluzioni
  • L'integrale della secante al cubo

    \int\sec^3(x)dx=

    può essere espresso come

    =\int\sec(x)\sec^2(x)dx=

    utilizzando semplicemente la definizione di potenza.

    Scrivendo l'integrale in questo modo possiamo integrare per parti, prendendo \sec^2(x) come derivata, la cui primitiva è la tangente.

    Otteniamo

    =\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)\tan^2(x)dx=(\bullet)

    Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    \tan^2(x)=\sec^2(x)-1

    dunque l'integrale diventa

    (\bullet)=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)[\sec^2(x)-1]dx=

    ossia

    =\sec(x)\tan(x)-\int(\sec^3(x)-\sec(x))dx=

    Grazie alla linearità dell'integrale possiamo spezzare l'integrale della somma come somma di integrali così da avere

    =\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)dx-\int\sec(x)dx

    Mediante questi semplici passaggi abbiamo raggiunto l'identità

    \int\sec^3(x)dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)dx-\int\sec(x)dx

    ed è un'ottima notizia perché siamo di fronte ad un integrale ricorsivo (vedi formule di riduzione per gli integrali), che possiamo affrontare ponendo

    I=\int\sec^3(x)dx

    così che l'identità scritta in precedenza diventi

    I=\sec(x)\tan(x)-I+\int\sec(x)dx

    da cui risolvendo l'integrale della secante di x otteniamo

    \\ 2I=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)dx \\ \\ \\ 2I=\sec(x)\tan(x)+\log(|\sec(x)+\tan(x)|)+c

    Perfetto, non ci resta che dividere membro a membro per due per portare a casa il risultato

    \int\sec^3(x)dx=\frac{1}{2}\sec(x)\tan(x)+\frac{1}{2}\log(|\sec(x)+\tan(x)|)+C

    dove C=\frac{c}{2} è una costante additiva.

    Risposta di Ifrit
 
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