L'integrale della secante al cubo
può essere espresso come
utilizzando semplicemente la definizione di potenza.
Scrivendo l'integrale in questo modo possiamo integrare per parti, prendendo
come derivata, la cui primitiva è la tangente.
Otteniamo
Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)
dunque l'integrale diventa
ossia
Grazie alla linearità dell'integrale possiamo spezzare l'integrale della somma come somma di integrali così da avere
Mediante questi semplici passaggi abbiamo raggiunto l'identità
ed è un'ottima notizia perché siamo di fronte ad un integrale ricorsivo (vedi formule di riduzione per gli integrali), che possiamo affrontare ponendo
così che l'identità scritta in precedenza diventi
da cui risolvendo l'integrale della secante di x otteniamo
Perfetto, non ci resta che dividere membro a membro per due per portare a casa il risultato
dove
è una costante additiva.
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