Soluzioni
  • L'integrale della secante al cubo

    ∫sec^3(x)dx =

    può essere espresso come

    = ∫sec(x)sec^2(x)dx =

    utilizzando semplicemente la definizione di potenza.

    Scrivendo l'integrale in questo modo possiamo integrare per parti, prendendo sec^2(x) come derivata, la cui primitiva è la tangente.

    Otteniamo

    = sec(x)tan(x)-∫sec(x)tan^2(x)dx = (•)

    Grazie all'identità fondamentale della Trigonometria (vedi formule trigonometriche)

    tan^2(x) = sec^2(x)-1

    dunque l'integrale diventa

    (•) = sec(x)tan(x)-∫sec(x)[sec^2(x)-1]dx =

    ossia

    = sec(x)tan(x)-∫(sec^3(x)-sec(x))dx =

    Grazie alla linearità dell'integrale possiamo spezzare l'integrale della somma come somma di integrali così da avere

    = sec(x)tan(x)-∫sec^3(x)dx-∫sec(x)dx

    Mediante questi semplici passaggi abbiamo raggiunto l'identità

    ∫sec^3(x)dx = sec(x)tan(x)-∫sec^3(x)dx-∫sec(x)dx

    ed è un'ottima notizia perché siamo di fronte ad un integrale ricorsivo (vedi formule di riduzione per gli integrali), che possiamo affrontare ponendo

    I = ∫sec^3(x)dx

    così che l'identità scritta in precedenza diventi

    I = sec(x)tan(x)-I+∫sec(x)dx

    da cui risolvendo l'integrale della secante di x otteniamo

     2I = sec(x)tan(x)+∫sec(x)dx ; 2I = sec(x)tan(x)+log(|sec(x)+tan(x)|)+c

    Perfetto, non ci resta che dividere membro a membro per due per portare a casa il risultato

    ∫sec^3(x)dx = (1)/(2)sec(x)tan(x)+(1)/(2)log(|sec(x)+tan(x)|)+C

    dove C = (c)/(2) è una costante additiva.

    Risposta di Ifrit
 
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