Formule goniometriche per semplificare espressione

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Avrei bisogno di una mano per semplificare un'espressione goniometrica in cui compaiono i quadrati di due coseni. Da quello che ho capito, dovrei sfruttare la formula di addizione del coseno. Potreste aiutarmi?

 

Usare le opportune formule goniometriche per semplificare la seguente espressione

 

cos^2(x+(π)/(3))+cos^2(x+(5π)/(6))

 

Grazie.

Domanda di JohnnyR

 
Soluzioni

  • L'esercizio ci chiede di semplificare l'espressione goniometrica

    cos^2(x+(π)/(3))+cos^2(x+(5π)/(6))

    Per portare a termine il nostro compito usiamo innanzitutto la formula di addizione del coseno

    cos(α+β) = cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β) con α,β∈R

    per esplicitare cos(x+(π)/(3)) e cos(x+(5π)/(6)).

    Occupiamoci del termine cos(x+(π)/(3))

    • cos(x+(π)/(3)) = cos(x)cos((π)/(3))-sin(x)sin((π)/(3)) =

    Sostituiamo i valori notevoli delle funzioni goniometriche ottenendo così l'espressione

    = (1)/(2)cos(x)-(√(3))/(2)sin(x) ∀ x∈R

    Occupiamoci del termine cos(x+(5π)/(6)) che grazie alla formula di addizione diviene

    • cos(x+(5π)/(6)) = cos(x)cos((5π)/(6))-sin(x)sin((5π)/(6)) = -(√(3))/(2)cos(x)-(1)/(2)sin(x)

    Perfetto! Abbiamo tutte le informazioni che ci servono per semplificare l'espressione

    cos^2(x+(π)/(3))+cos^2(x+(5π)/(6)) = [(1)/(2)cos(x)-(√(3))/(2)sin(x)]^2+[-(√(3))/(2)cos(x)-(1)/(2)sin(x)]^2 =

    Sviluppiamo i quadrati

    = (1)/(4)cos^2(x)+(3)/(4)sin^2(x)-2·(1)/(2)·(√(3))/(2)sin(x)cos(x)+;+(3)/(4)cos^2(x)+(1)/(4)sin^2(x)+2·(√(3))/(2)·(1)/(2)sin(x)cos(x) =

    e sommiamo i termini simili

    = ((1)/(4)+(3)/(4))cos^2(x)+((3)/(4)+(1)/(4))sin^2(x)+(-(√(3))/(2)+(√(3))/(2))sin(x)cos(x) = cos^2(x)+sin^2(x) =

    La relazione fondamentale della goniometria ci permette di concludere che l'espressione è uguale a 1

    = 1

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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