Soluzioni
  • Una funzione olomorfa è una funzione complessa di variabile complessa che è derivabile (in senso complesso) in ogni punto del suo insieme di definizione.

    Data cioè una funzione

    \\ f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ \\ z=(x,y)\in \Omega \mapsto f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

    dove u(x,y) e v(x,y) sono funzioni reali di due variabili reali, diciamo che f è olomorfa in \Omega e scriviamo f\in H(\Omega), se per ogni numero complesso z_0 \in \Omega esiste finito il seguente limite

    \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \mathbb{C}

    Le funzioni olomorfe in tutto \mathbb{C} si dicono funzioni intere.

    Osserviamo che il precedente limite è un limite in due variabili, infatti z e z_0 sono numeri complessi, ossia coppie ordinate di numeri reali.

    Come stabilire se una funzione è olomorfa

    Stabilire se una funzione è olomorfa utilizzando la definizione è abbastanza laborioso. Fortunatamente ci viene in aiuto il teorema di Cauchy-Riemann, che fornisce una condizione necessaria e sufficiente con cui stabilire se una funzione è olomorfa.

    Questo teorema afferma che una funzione f definita come sopra è olomorfa se e solo se u(x,y) e v(x,y) sono due funzioni reali differenziabili in \Omega e valgono le seguenti uguaglianze tra le derivate parziali delle funzioni u(x,y) e v(x,y)

    \begin{cases}\dfrac{\partial}{\partial x}u(x,y)=\dfrac{\partial}{\partial y}v(x,y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial y}u(x,y)=-\dfrac{\partial}{\partial x}v(x,y)\end{cases}

    Le due condizioni che formano il sistema appena scritto si dicono condizioni di Cauchy-Riemann.

    Esempio

    Verificare, utilizzando il teorema di Cauchy-Riemann, che la funzione

    \\ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \\ \\ z=(x,y)\in \mathbb{C} \mapsto f(z)=f(x,y)=e^x[\cos(y)+i\sin(y)]

    è una funzione olomorfa.

    Svolgimento: nella funzione data

    u(x,y)=e^x\cos(y) \ \ ; \ \ v(x,y)=e^{x}\sin(y)

    e sono, indubbiamente, due funzioni reali differenziabili. Inoltre, avendo ben presente come si calcolano le derivate parziali abbiamo

    \\ \frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=e^x\cos(y) \\ \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=-e^x\sin(y) \\ \\ \\ \frac{\partial}{\partial x}v(x,y)=e^x\sin(y) \\ \\ \\ \frac{\partial}{\partial y}v(x,y)=e^x\cos(y)

    Poiché

    \frac{\partial}{\partial x}u(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}v(x,y)=e^x\cos(y)

    e

    \frac{\partial}{\partial y}u(x,y)=-e^x\sin(y)=-\frac{\partial}{\partial x}v(x,y)

    possiamo concludere che la funzione data è olomorfa in tutto il piano complesso, ossia è una funzione intera.

    Proprietà delle funzioni olomorfe

    Siano f e g due funzioni olomorfe definite in un qualsiasi sottoinsieme di \mathbb{C}, eventualmente coincidente con lo stesso insieme dei numeri complessi, allora

    1) la loro somma, così come la loro differenza, è ancora una funzione olomorfa;

    2) il loro prodotto continua a essere una funzione olomorfa, così come il prodotto di una funzione olomorfa per uno scalare (reale o complesso);

    3) se g(z)\neq 0 per ogni z\in \Omega allora \frac{f(z)}{g(z)} è olomorfa.

    Ti faccio osservare che le proprietà 1) e 2) ci permettono di affermare che l'insieme H(\Omega) di tutte e sole le funzioni olomorfe definite in un qualsiasi sottoinsieme non vuoto \Omega \mbox{ di } \mathbb{C} è uno spazio vettoriale sul campo \mathbb{C}.

    È tutto! ;)

    Risposta di Galois
 
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