Soluzioni
  • Ciao Cecilietta, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per risolvere la disequazione con doppietta logaritmo-modulo, Laughing nel nostro caso

    \log_{0,8}{|x-4|}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}

    specifichiamo innanzitutto il segno dell'argomento del modulo: per farlo, dobbiamo distitinguere a seconda che l'argomento del modulo sia positivo o negativo.

    In pratica, cominciamo trattando la disequazione come una disequazione con valore assoluto.

    Otteniamo così due sistemi di disequazioni, da risolvere separatamente e le cui soluzioni vanno unite, alla fine

    \left\{\begin{matrix}x-4> 0\\ \log_{0,8}{(x-4)}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}\end{matrix}

    e

    \left\{\begin{matrix}x-4\textless 0\\ \log_{0,8}{[-(x-4)]}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}\end{matrix}

    Prendiamo il primo sistema, e risolviamo la disequazione logaritmica che di suo richiede l'impsizione delle condizioni di esistenza dei logaritmi.

    Il primo logaritmo esiste alla luce della condizione sul modulo (è importante però escludere il valore che annulla l'argomento del modulo, cioè x\neq 4). L'unica condizione va posta sull'argomento del secondo logaritmo, e bisogna richiedere che sia strettamente positivo

    \left\{\begin{matrix}x-4> 0\\ 2+3x>0\\ \log_{0,8}{(x-4)}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}\end{matrix}

    otteniamo

    \left\{\begin{matrix}x> 4\\ x>-\frac{2}{3}\\ \log_{0,8}{(x-4)}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}\end{matrix}

    Nella disequazione logaritmica possiamo eliminare i logaritmi (applicando l'esponenziale di base 0,8 ad entrambi i membri) ma, per farlo, dobbiamo cambiare il verso della disequazione: questo proprio perché la base è compresa tra 0 ed 1.

    \left\{\begin{matrix}x> 4\\ x>-\frac{2}{3}\\ x-4\geq 2+3x\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}x> 4\\ x>-\frac{2}{3}\\ x\leq -3\end{matrix}

    Il primo sistema è dunque impossibile.

    Passiamo al secondo:

    \left\{\begin{matrix}x-4\textless 0\\ \log_{0,8}{[-(x-4)]}\leq \log_{0,8}{(2+3x)}\end{matrix}

    Con considerazioni del tutto analoghe rispetto al precedente sistema

    \left\{\begin{matrix}x\textless 4\\ x>-\frac{2}{3} \\ -(x-4)\geq 2+3x\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}x\textless 4\\ x>-\frac{2}{3} \\ x\leq -\frac{1}{2}\end{matrix}

    troviamo come soluzione

    -\frac{2}{3}\leq x\textless \frac{1}{2}

    L'unione di tale soluzione e dell'insieme vuoto (insieme delle soluzioni del primo sistema) è proprio

    -\frac{2}{3}\leq x\textless \frac{1}{2}

    Qui puoi trovare le lezioni sulle disequazioni, casomai potessero tornarti utili Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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