Soluzioni
  • Ci vengono assegnate le seguenti matrici di Mat(3,2,\mathbb{R}):

    A=\begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&2 \\ 0&3 \end{pmatrix} \ \ \ ; \ \ \ B=\begin{pmatrix}0&2\\ -1&1 \\ 0&1\end{pmatrix}

    e dobbiamo stabilire se \mathcal{B}=\{A,B\} è una base di V=\mbox{Span}(A,B), che denota il sottospazio vettoriale generato dalle matrici A e B.

    Ricordiamo che una base di V è un sistema di generatori di V e un insieme di vettori linearmente indipendenti.

    Per definizione di sottospazio generato, \{A,B\} è un sistema di generatori di V, dunque affinché sia una sua base le matrici A,B devono essere linearmente indipendenti tra loro.

    Per studiarne la lineare indipendenza imponiamo che una loro qualsiasi combinazione lineare sia uguale al vettore nullo di Mat(3,2,\mathbb{R}), che è la matrice rettangolare nulla

    O=\begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    dunque imponiamo che sia

    \lambda_1 A + \lambda_2 B = O.

    Se l'uguaglianza è soddisfatta solo per \lambda_1=\lambda_2=0 le matrici sono indipendenti, e quindi formano una base di V.

    Scriviamo ciascuna matrice per esteso

    \lambda_1 \begin{pmatrix}1&-1 \\ 1&2 \\ 0&3 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix}0&2\\ -1&1 \\ 0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    Svolgiamo dapprima i prodotti scalare-matrice

    \begin{pmatrix}\lambda_1 & -\lambda_1 \\ \lambda_1 & 2\lambda_1 \\ 0 & 3\lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & 2\lambda_2 \\ -\lambda_2 & \lambda_2 \\ 0 & \lambda_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    dopodiché calcoliamo la somma matriciale

    \begin{pmatrix}\lambda_1 & -\lambda_1+2\lambda_2 \\ \lambda_1-\lambda_2 & 2\lambda_1+\lambda_2 \\ 0 & 3\lambda_1+\lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0 \\ 0&0 \\ 0&0\end{pmatrix}

    Affinché due matrici siano uguali devono coincidere gli elementi che occupano la stessa posizione, cosicché l'uguaglianza matriciale equivale al sistema lineare omogeneo

    \begin{cases}\lambda_1=0 \\ -\lambda_1+2\lambda_2=0 \\ \lambda_1-\lambda_2=0 \\ 2\lambda_1+\lambda_2=0 \\ 3\lambda_1+\lambda_2=0 \end{cases}

    Evidentemente l'unica soluzione del sistema è quella banale

    (\lambda_1, \lambda_2) = (0,0)

    e quindi A e B sono linearmente indipendenti.

    Per quanto detto in precedenza \mathcal{B}=\{A,B\} è una base di V, e l'esercizio è concluso!

    Risposta di Galois
 
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