Soluzioni
  • Consideriamo il limite (a) ossia

    \lim_{x\to0}\frac{x}{1-e^{2x}}=

    Esso si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] che può essere sciolta eseguendo dei semplici passaggi algebrici che consentano di ricondurci al limite notevole  associato alla funzione esponenziale.

    Il primo passaggio consiste nell'usare la definizione di potenza con esponente negativo con cui esprimiamo il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to0}\left[\frac{1-e^{2x}}{x}\right]^{-1}=

    dopodiché raccogliamo il segno meno all'interno delle parentesi quadre

    =\lim_{x\to0}\left[-\frac{e^{2x}-1}{x}\right]^{-1}=

    e moltiplichiamo e dividiamo per 2 la base della potenza

    =\lim_{x\to0}\left[-2\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}\right]^{-1}=(\bullet)

    In accordo con il limite notevole dell'esponenziale in forma generale

    \lim_{h(x)\to0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

    deduciamo che la base della potenza tende a -2 infatti

    \lim_{x\to0}-2\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}=-2

    conseguentemente possiamo asserire che il limite (\bullet) vale -\frac{1}{2}

    (\bullet)=\left[-2\right]^{-1}= \frac{1}{-2}=-\frac{1}{2} 

    Il primo limite è calcolato.

     

    Consideriamo il limite (b)

    \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{1-e^{2x}}=

    In tale occasione x\to+\infty e il limite presenta una forma indeterminata del tipo \left[\frac{+\infty}{-\infty}\right] che possiamo risolvere invocando il confronto tra infiniti

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{-e^{2x}}=0^{-}

    Il risultato si giustifica osservando che la funzione esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto alla funzione potenza.

     

    Analizziamo infine il limite (c)

    \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{1-e^{2x}}

    Questa volta non viene generata alcuna forma di indecisione infatti è sufficiente osservare che il termine esponenziale e^{2x} è infinitesimo per x\to-\infty come si evince dall'andamento della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

    A fronte di questa informazione possiamo concludere immediatamente che il limite è -\infty in accordo con l'algebra degli infiniti

    \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{1-e^{2x}}=-\infty

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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