Equazione complessa con la forma esponenziale?

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Non so come risolvere un'equazione complessa in cui sono presenti diverse potenze, una delle quali ha come base il coniugato dell'incognita. Pensavo di passare alla forma esponenziale, ma i calcoli difficili e la poca dimestichezza con tale espansione mi impediscono di giungere al risultato.

 

Risolvere nel campo complesso l'equazione

 

z^2(z)^3 = (i^4+3)/(i-1)

 

Grazie.

Domanda di saso03

 
Soluzioni

  • Esistono due strade per risolvere l'equazione complessa

    z^2(z)^3 = (i^4+3)/(i-1)

    La prima che vedremo  è puramente algebrica e consiste nell'applicare le proprietà dell'operazione di coniugio. Prima di procedere con la risoluzione è opportuno esprimere il rapporto di numeri complessi in forma normale. Usiamo la definizione di unità immaginaria da cui discende che i^4 = 1 e mediante la quale possiamo esprimere il numero complesso al secondo membro come

    (i^4+3)/(i-1) = (4)/(i-1) =

    Realizziamo inoltre il denominatore, moltiplicando e dividendo per il coniugato di quest'ultimo, ossia per -1-i

    = (4(-1-i))/((i-1)(-1-i)) = (-4-4i)/(2) = -2-2i

    Questi semplici passaggi permettono di esprimere l'equazione di partenza come

    z^2(z)^3 = -2-2i

    Invochiamo le proprietà delle potenze, che consentono di esprimere il primo membro come

    z^2·z^2·z = -2-2i

    e ancora

    (z·z)^2·z = -2-2i

    Dalla teoria, siamo a conoscenza della relazione che lega l'operazione di coniugio con quella di modulo

    z·z = |z|^2

    la quale permette di esprimere l'equazione complessa come

    (|z|^2)^2·z = -2-2i → |z|^4·z = -2-2i

    Abbiamo ottenuto l'uguaglianza tra due numeri complessi ed ora sfrutteremo una proprietà grazie alla quale otterremo il modulo delle eventuali soluzioni.

    Condizione necessaria (ma non sufficiente) affinché due numeri complessi coincidano è che i loro moduli siano uguali, ossia deve succedere che

    ||z|^4·z| = |-2-2i|

    Grazie alle proprietà sul modulo di un prodotto, possiamo esprimere l'equazione come

    |z|^4·|z| = |-2-2i|

    Ricordiamo che il modulo del coniugato coincide con quello del numero complesso, ossia sussiste l'identità |z| = |z| valida per ogni z∈C, pertanto l'equazione si scrive come

    |z|^(4)·|z| = |-2-2i| → |z|^5 = √(8)

    Possiamo asserire, senza ombra di dubbio, che il modulo delle eventuali soluzioni è

    |z| = [5]√(√(8)) = sqrt[10]8

    Nota: nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato le proprietà delle radici reali.

    Ora che il modulo di z è noto, possiamo calcolarne la potenza quarta e rimpiazzarla nell'equazione

    |z|^4·z = -2-2i

    così che diventi

    (sqrt[10]8)^(4)·z = -2-2i

    Semplifichiamo il più possibile il radicale sfruttando a dovere le proprietà delle potenze con esponente fratto

    8^((4)/(10))·z = -2-2i → (2^3)^((4)/(10))·z = -2-2i → ; → 2^((6)/(5))z = -2-2i

    Ci siamo ricondotti ad una equazione di primo grado in z, pertanto è sufficiente isolare il termine con il coniugato al primo membro, dividendo per 2^((6)/(5))

    z = (-2-2i)/(2^((6)/(5))) → z = -(1)/(2^((1)/(5)))-i(1)/(2^((1)/(5)))

    Perfetto! Noto il valore del coniugato, possiamo calcolare z cambiando semplicemente il segno della parte immaginaria e concludere che

    z = -(1)/(2^((1)/(5)))+(i)/(2^((1)/(5)))

    è la soluzione dell'equazione di partenza.

     

    Metodo alternativo

    Possiamo risolvere l'equazione

    z^2(z)^3 = (i^4+3)/(i-1)

    esprimendo l'incognita z nella sua forma esponenziale, cioè possiamo porre

    z = |z|e^(i Arg(z))

    dove |z| e Arg(z) sono rispettivamente modulo e argomento di z soggetti ai vincoli

    |z| > 0 Arg(z)∈ [0,2π) ∀ z∈C-0

    (se z = 0 allora il modulo è 0 mentre l'argomento non è definito!)

    Sfruttando le proprietà delle potenze e tenuto conto che la forma esponenziale di z risulta essere

    z = |z|e^(-i Arg(z))

    l'equazione data si esprime come

    |z|^2e^(2i Arg(z))·|z|^3e^(-3i Arg(z)) = -2-2i

    ossia

    |z|^5 e^(-iArg(z)) = -2-2i

    Per agevolare i calcoli, è opportuno dalla forma algebrica alla forma esponenziale il numero w = -2-2i con parte reale e parte immaginaria pari a

    Re(w) = -2 e Im(w) = -2

    Sfruttiamo la definizione per ottenere il modulo di w

    |w| = √(Re(w)^2+Im(w)^2) = √((-2)^2+(-2)^2) = √(8)

    Per quanto concerne l'argomento, sfruttiamo invece la relazione

    Arg(w) = arctan((Im(w))/(Re(w)))+π = arctan(1)+π = (π)/(4)+π = (5π)/(4)

    dove con arctan(·) denota la funzione arcotangente. In definitiva la forma esponenziale di w è

    w = |w|e^(i Arg(w)) → w = √(2)e^(i(5π)/(4))

    e pertanto l'equazione diventa

    |z|^(5)e^(-iArg(z)) = √(8)e^(i(5π)/(4))

    Ricordiamo che due numeri complessi in forma esponenziale coincidono se e solo se hanno lo stesso modulo e se i loro argomenti differiscono di un multiplo di 2π pertanto, affinché l'equazione sia soddisfatta dobbiamo richiedere che

    |z|^(5) = √(8) e -Arg(z) = (5π)/(4)+2kπ con k∈Z

    da cui segue che

    |z| = sqrt[10]8 e Arg(z) = -(5π)/(4)-2kπ

    Imponiamo che Arg(z) appartenga all'intervallo considerato, cioè [0,2π), tenendo conto che la condizione di appartenenza ad un intervallo non degenere e limitato può essere espressa mediante una doppia disequazione

    Arg(z)∈ [0,2π) ⇔ 0 ≤ Arg(z) < 2π → 0 ≤ -(5π)/(4)-2kπ < 2π

    Risolvendo la doppia disequazione rispetto al numero intero k otteniamo k = -1 pertanto

    Arg(z) = -(5π)/(4)-2(-1)π = (3π)/(4)

    In definitiva la soluzione dell'equazione, in forma esponenziale, è

    z = |z|e^(i Arg(z)) = sqrt[10]8e^((3π)/(4)i) =

    e scritta in forma algebrica diventa

    = -(1)/(2^((1)/(5)))+(i)/(2^((1)/(5)))

    Come potevamo aspettarci, entrambe le strategie risolutive conducono allo stesso risultato.

    Risposta di Ifrit
 
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