Soluzioni
  • Ciao Mindy, un attimino e arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega
  • Eccoci, Mindy: io non credo proprio che in un singolo giorno di scuola il tuo professore abbia spiegato come si effettua lo studio di funzione, di cui parliamo qui (click!).

    Credo piuttosto - e gli esercizi che proponi ne danno conferma - che sia richiesto di tracciare un grafico qualitativo delle funzioni date ricorrendo al metodo del grafico intuitivo, di cui parliamo qui (click!).

    Ti chiedo una conferma o una smentita, almeno poi procediamo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • le funzioni le abbiamo studiate ma non le abbiamo mai rappresentate graficamente

    Risposta di Mindy
  • Ok: procediamo con il metodo del grafico intuitivo Wink e se vuoi puoi aiutarti rappresentando il grafico delle funzioni che compaiono ad ogni passaggio con il nostro tool per disegnare il grafico di funzioni online.

    Prendiamo la prima funzione

    y=-\sqrt{4x-x^2}

    e ragioniamo per composizione di funzioni. La funzione considerata

    y=f(x)=-\sqrt{4x-x^2}

    può essere vista come composizione di due funzioni:

    f(x)=g(h(x)

    dove abbiamo, nell'ordine, prima

    h(x)=4x-x^2

    che è una parabola, e di cui possiamo disegnare il grafico senza troppe complicazioni. 

    Alla funzione z=g(x) applichiamo la funzione "radice quadrata"

    h(z)=\sqrt{z}

    e quindi otteniamo

    h(g(x))=\sqrt{4x-x^2}

    per farlo basta ricordare come si comporta la funzione radice di z

    Poi bisogna richiedere che l'argomento della radice sia non negativo (maggiore-uguale a zero), per cui nel nostro caso dovendo applicare la radice all'immagine 4x-x^2 dobbiamo limitarci alle ascisse x tali che

    4x-x^2\geq 0

    cioè 0\leq x\leq 4

    Noi ci limitiamo a questo intervallo, e applichiamo la radice quadrata all'immagine della funzione h(x). Da qui disegnamo il grafico di

    g(h(x))=\sqrt{4x-x^2}

    Abbiamo infine il "meno", che riflette il grafico rispetto all'asse delle ascisse (le ordinate positive diventano negative, e viceversa).

    f(x)=-\sqrt{4x-x^2} 

    Tutto chiaro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • perchè h(x)=4x-x^2 è una parabola?

     

    Risposta di Mindy
  • E' una parabola rivolta verso il basso: pernsa all'equazione generica della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate:

    y=ax^2+bx+c

    prendi a=-1,b=4,c=0 e ci sei Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • il problema è che non abbiamo studiato ancora la parabola...le funzioni le abbiamo studiate ad ottobre  ma senza rappresentarle sul grafico, poi abbiamo fatto geometria anlitica la retta e la circonferenza e a fine capitolo ci stanno questi esercizi 

    Risposta di Mindy
  • Ok...e te li ha assegnati il professore, questi esercizi...?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • si

    Risposta di Mindy
  • Ma la circonferenza l'hai studiata...:)...quindi mi è venuta un'idea su come procedere. Un attimo e te la scrivo Wink

    Risposta di Omega
  • Prendiamo la prima equazione, e invece di interpretarla come una funzione interpretiamola come un luogo geometrico nel piano descritto dall'equazione

    y=-\sqrt{4x-x^2}

    eleviamo entrambi i membri al quadrato, trovando così

    y^2=4x-x^2

    cioè

    x^2-4x+y^2=0

    Completiamo il quadrato in x, sommando e sottraendo 4

    x^2-4x+4+y^2-4=0

    x^2-4x+4+y^2=4

    (x-2)^2+y^2=4

    Questa è l'equazione di una circonferenza, avente centro (2,0) e raggio 2.

    Quindi: l'equazione iniziale rappresenta la semicirconferenza nel semipiano delle ordinate negative, infatti l'equazione iniziale è della forma y=-TerminePositivo

    Credo proprio che sia questo il modo richiesto dal tuo professore Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • devo procedere in questa maniera anche per gli altri? ma il codominio di questa funzione come si trova?

    Risposta di Mindy
  • Sostanzialmente sì :)

    Per il codominio, o meglio per l'immagine delle funzioni: per determinare Im(f) ti basta guardare il grafico e proiettarlo sull'asse delle ordinate. L'insieme delle ordinate che sono coperte dal grafico è l'immagine della funzione.

    Nel nostro esempio, l'immagine è l'insieme \{-2\leq y\leq 0\}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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