Rappresentazioni grafiche di funzioni

dovrei rappresentare graficamente le seguenti funzioni...ma essendo mancata un giorno a scuola non ho ascoltato la spiegazione e non ho idea di come si faccia. Grazie :)

a) y=-radice4x-x^2

b) y=radice8x-x^2

c) y=-radice-x-x^2

d) y=radice16-x^2+1(il +1 sta fuori alla radice)

e) 3-2x=radice6x-x^2

f) radice-x^2+x+6=x-1

g) radice4-x^2=valore assoluto di 2-x

In Superiori - Analisi - Domanda di Mindy

Soluzioni

Ciao Mindy, un attimino e arrivo a risponderti...:)

Risposta di Omega
Eccoci, Mindy: io non credo proprio che in un singolo giorno di scuola il tuo professore abbia spiegato come si effettua lo studio di funzione, di cui parliamo qui (click!).

Credo piuttosto - e gli esercizi che proponi ne danno conferma - che sia richiesto di tracciare un grafico qualitativo delle funzioni date ricorrendo al metodo del grafico intuitivo, di cui parliamo qui (click!).

Ti chiedo una conferma o una smentita, almeno poi procediamo.

Namasté!

Risposta di Omega
le funzioni le abbiamo studiate ma non le abbiamo mai rappresentate graficamente

Risposta di Mindy
Ok: procediamo con il metodo del grafico intuitivo e se vuoi puoi aiutarti rappresentando il grafico delle funzioni che compaiono ad ogni passaggio con il nostro tool per disegnare il grafico di funzioni online.

Prendiamo la prima funzione

$y=-\sqrt{4x-x^2}$

e ragioniamo per composizione di funzioni. La funzione considerata

$y=f(x)=-\sqrt{4x-x^2}$

può essere vista come composizione di due funzioni:

dove abbiamo, nell'ordine, prima

che è una parabola, e di cui possiamo disegnare il grafico senza troppe complicazioni.

Alla funzione applichiamo la funzione "radice quadrata"

$h(z)=\sqrt{z}$

e quindi otteniamo

$h(g(x))=\sqrt{4x-x^2}$

per farlo basta ricordare come si comporta la funzione radice di .

Poi bisogna richiedere che l'argomento della radice sia non negativo (maggiore-uguale a zero), per cui nel nostro caso dovendo applicare la radice all'immagine dobbiamo limitarci alle ascisse tali che

$4x-x^2\geq 0$

cioè $0\leq x\leq 4$

Noi ci limitiamo a questo intervallo, e applichiamo la radice quadrata all'immagine della funzione . Da qui disegnamo il grafico di

$g(h(x))=\sqrt{4x-x^2}$

Abbiamo infine il "meno", che riflette il grafico rispetto all'asse delle ascisse (le ordinate positive diventano negative, e viceversa).

$f(x)=-\sqrt{4x-x^2}$

Tutto chiaro? :)

Namasté!

Risposta di Omega
perchè h(x)=4x-x^2 è una parabola?

Risposta di Mindy
E' una parabola rivolta verso il basso: pernsa all'equazione generica della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate:

prendi e ci sei

Namasté!

Risposta di Omega
il problema è che non abbiamo studiato ancora la parabola...le funzioni le abbiamo studiate ad ottobre ma senza rappresentarle sul grafico, poi abbiamo fatto geometria anlitica la retta e la circonferenza e a fine capitolo ci stanno questi esercizi

Risposta di Mindy
Ok...e te li ha assegnati il professore, questi esercizi...?

Namasté!

Risposta di Omega
si

Risposta di Mindy
Ma la circonferenza l'hai studiata...:)...quindi mi è venuta un'idea su come procedere. Un attimo e te la scrivo

Risposta di Omega
Prendiamo la prima equazione, e invece di interpretarla come una funzione interpretiamola come un luogo geometrico nel piano descritto dall'equazione

$y=-\sqrt{4x-x^2}$

eleviamo entrambi i membri al quadrato, trovando così

cioè

Completiamo il quadrato in , sommando e sottraendo

Questa è l'equazione di una circonferenza, avente centro e raggio .

Quindi: l'equazione iniziale rappresenta la semicirconferenza nel semipiano delle ordinate negative, infatti l'equazione iniziale è della forma

Credo proprio che sia questo il modo richiesto dal tuo professore

Namasté!

Risposta di Omega
devo procedere in questa maniera anche per gli altri? ma il codominio di questa funzione come si trova?

Risposta di Mindy
Sostanzialmente sì :)

Per il codominio, o meglio per l'immagine delle funzioni: per determinare ti basta guardare il grafico e proiettarlo sull'asse delle ordinate. L'insieme delle ordinate che sono coperte dal grafico è l'immagine della funzione.

Nel nostro esempio, l'immagine è l'insieme $\{-2\leq y\leq 0\}$ .

Namasté!

Risposta di Omega