Semplificare una frazione algebrica con Ruffini

Per ridurre la frazione algebrica

seguiremo la strategia standard: essa prevede di scomporre il polinomio a numeratore e quello al denominatore, dopodiché eseguiremo le classiche semplificazioni dei fattori che otterremo.

Iniziamo dalla scomposizione del numeratore, che per comodità lo indicheremo con

Purtroppo non può essere fattorizzato né con i prodotti notevoli, né con la tecnica del raccoglimento totale, né con la tecnica del raccoglimento parziale: siamo costretti a usare la regola di Ruffini.

Il primo passo consiste nel determinare una radice razionale di , ossia un numero razionale che, sostituito ad , annulla il polinomio.

La frazione è caratterizzata dalla seguente regola:

- il numeratore è un divisore intero del termine noto di ;

- il denominatore è invece un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo (o coefficiente direttivo) di ;

Nel caso in esame, il coefficiente direttivo di è pari a 1, di conseguenza le possibili radici razionali sono intere e dividono il termine noto.

Calcoliamo quindi i divisori interi di

e individuiamo un valore tra essi che annulla : quello che ci serve è , infatti

Perfetto! è la radice razionale con cui innescare il metodo. Impostiamo quindi la tabella di Ruffini:

- scriviamo in riga i coefficienti di , ordinati secondo le potenze decrescenti di , prestando la massima attenzione a riportare gli zeri segnaposto per le potenze mancanti;

- tracciamo due righe verticali, una prima del coefficiente di e una subito prima del termine noto;

- lasciamo un po' di spazio e tracciamo una linea orizzontale che taglia quelle verticali;

- riportiamo la radice razionale sopra la linea orizzontale e prima della linea verticale sinistra.

Lo schema di Ruffini è quindi:

Completiamo la tabella: riportiamo 1 sotto la linea orizzontale

moltiplichiamolo per la radice e riportiamo il risultato sotto il secondo 1

Addizioniamo 1 e 1, riportando la somma sotto la linea di separazione orizzontale

Iteriamo il processo: moltiplichiamo 1 e 2, riportiamo il risultato sotto lo 0 e sommiamo

Facciamolo per l'ultima volta: moltiplichiamo 1 e 2, riportiamo il prodotto sotto -2 e sommiamo

Nota: nel contesto delle scomposizioni, l'ultima somma dev'essere necessariamente zero, in caso contrario l'esercizio nasconde un errore e va ricontrollato.

In accordo con la teoria, si fattorizza come prodotto tra il binomio e il polinomio avente per coefficienti i valori dell'ultima riga della tabella, ordinati secondo le potenze decrescenti di , dunque:

Siamo pertanto autorizzati a scrivere il polinomio come segue:

Osservazione: il polinomio non può essere ulteriormente scomponibile con la regola di Ruffini, giacché i divisori di 2 non lo annullano.

Analizziamo il denominatore della frazione algebrica e indichiamolo con

Esso può essere scomposto mediante raccoglimento totale: possiamo infatti mettere in evidenza il fattore comune

Perfetto! Abbiamo a disposizione tutti gli elementi che ci servono per concludere l'esercizio. Basta infatti rimpiazzare numeratore e denominatore con le rispettive fattorizzazioni e semplificare a dovere

Abbiamo terminato!