Soluzioni
  • Per ridurre la frazione algebrica

    \frac{x^3+x^2-2}{x^3+2x^2+2x}

    seguiremo la strategia standard: essa prevede di scomporre il polinomio a numeratore e quello al denominatore, dopodiché eseguiremo le classiche semplificazioni dei fattori che otterremo.

    Iniziamo dalla scomposizione del numeratore, che per comodità lo indicheremo con N(x)

    N(x)=x^3+x^2-2

    Purtroppo non può essere fattorizzato né con i prodotti notevoli, né con la tecnica del raccoglimento totale, né con la tecnica del raccoglimento parziale: siamo costretti a usare la regola di Ruffini.

    Il primo passo consiste nel determinare una radice razionale di N(x), ossia un numero razionale \frac{p}{q} che, sostituito ad x, annulla il polinomio.

    La frazione \frac{p}{q} è caratterizzata dalla seguente regola:

    - il numeratore p è un divisore intero del termine noto di N(x);

    - il denominatore q è invece un divisore intero del coefficiente del termine di grado massimo (o coefficiente direttivo) di N(x);

    Nel caso in esame, il coefficiente direttivo di N(x) è pari a 1, di conseguenza le possibili radici razionali sono intere e dividono il termine noto.

    Calcoliamo quindi i divisori interi di -2

    \mbox{Divisori interi di }-2=\{-2,\ -1, \ 1, \ 2\}

    e individuiamo un valore tra essi che annulla N(x): quello che ci serve è x=1, infatti

    N(1)=1^3+1^2-2=0

    Perfetto! x=1 è la radice razionale con cui innescare il metodo. Impostiamo quindi la tabella di Ruffini:

    - scriviamo in riga i coefficienti di N(x), ordinati secondo le potenze decrescenti di x, prestando la massima attenzione a riportare gli zeri segnaposto per le potenze mancanti;

    - tracciamo due righe verticali, una prima del coefficiente di x^3 e una subito prima del termine noto;

    - lasciamo un po' di spazio e tracciamo una linea orizzontale che taglia quelle verticali;

    - riportiamo la radice razionale sopra la linea orizzontale e prima della linea verticale sinistra.

    Lo schema di Ruffini è quindi:

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&&&& \\ \hline &&&&&&\end{array}

    Completiamo la tabella: riportiamo 1 sotto la linea orizzontale

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&&&& \\ \hline &1&&&&&\end{array}

    moltiplichiamolo per la radice e riportiamo il risultato sotto il secondo 1

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&1&&& \\ \hline &1&&&&&\end{array}

    Addizioniamo 1 e 1, riportando la somma sotto la linea di separazione orizzontale

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&1&&& \\ \hline &1&&2&&&\end{array}

    Iteriamo il processo: moltiplichiamo 1 e 2, riportiamo il risultato sotto lo 0 e sommiamo

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&1&&2& \\ \hline &1&&2&&2&\end{array}

    Facciamolo per l'ultima volta: moltiplichiamo 1 e 2, riportiamo il prodotto sotto -2 e sommiamo

    \begin{array}{c|ccccc|c}&1&&1&&0&-2 \\ &&&&&& \\ 1&&&1&&2&2 \\ \hline &1&&2&&2&//\end{array}

    Nota: nel contesto delle scomposizioni, l'ultima somma dev'essere necessariamente zero, in caso contrario l'esercizio nasconde un errore e va ricontrollato.

    In accordo con la teoria, N(x) si fattorizza come prodotto tra il binomio x-\mbox{radice} e il polinomio Q(x) avente per coefficienti i valori dell'ultima riga della tabella, ordinati secondo le potenze decrescenti di x, dunque:

    Q(x)=x^2+2x+2

    Siamo pertanto autorizzati a scrivere il polinomio N(x) come segue:

    N(x)=(x-1)(x^2+2x+2)

    Osservazione: il polinomio x^2+2x+2 non può essere ulteriormente scomponibile con la regola di Ruffini, giacché i divisori di 2 non lo annullano.

    Analizziamo il denominatore della frazione algebrica e indichiamolo con D(x)

    D(x)=x^3+2x^2+2x

    Esso può essere scomposto mediante raccoglimento totale: possiamo infatti mettere in evidenza il fattore comune x

    D(x)=x(x^2+2x+2)

    Perfetto! Abbiamo a disposizione tutti gli elementi che ci servono per concludere l'esercizio. Basta infatti rimpiazzare numeratore e denominatore con le rispettive fattorizzazioni e semplificare a dovere

    \frac{x^3+x^2-2}{x^3+2x^2+2x}=\frac{(x-1)(x^2+2x+2)}{x(x^2+2x+2)}=\frac{x-1}{x}

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Ifrit
 
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