Soluzioni
  • Sia A \in Mat(2,2,\mathbb{C}) tale che

    A^2+A+\mbox{Id}_2=O_2

    dove A^2 denota il quadrato di A, \mbox{Id}_2 è la matrice identità di ordine 2 e O_2 è la matrice nulla.

    Dobbiamo dimostrare che A è invertibile, e scrivere l'espressione dell'inversa A^{-1} e del determinante di A.

    Studio dell'invertibilità

    Una matrice quadrata a coefficienti in un campo \mathbb{K}, quale è \mathbb{C}, è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

    Partendo dalla relazione

    A^2+A+\mbox{Id}_2=O_2

    dobbiamo allora dimostrare che \mbox{det}(A) \neq 0.

    Isoliamo \mbox{Id}_2

    \mbox{Id}_2=-A^2-A

    e, sfruttando la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, riscriviamo il secondo membro come

    \mbox{Id}_2=A \left(-A-\mbox{Id}_2\right) \ \ (\star)

    Due matrici uguali hanno necessariamente lo stesso determinante, per cui

    \mbox{det}\left(\mbox{Id}_2\right) = \mbox{det}\left[A \left(-A-\mbox{Id}_2\right)\right]

    Analizziamo i due membri e osserviamo che:

    - il determinante della matrice identità è 1

    \mbox{det}\left(\mbox{Id}_2\right)=1

    - per il teorema di Binet, il determinante di un prodotto è uguale il prodotto dei determinanti

    \mbox{det}\left[A \left(-A-\mbox{Id}_2\right)\right] = \mbox{det}(A) \cdot \mbox{det}\left(-A-\mbox{Id}_2\right)

    Alla luce di queste osservazioni possiamo scrivere

    \mbox{det}(A) \cdot \mbox{det}\left(-A-\mbox{Id}_2\right) = 1

    Se il determinante di A fosse nullo, la legge di annullamento del prodotto ci indurrebbe in contraddizione, dunque \mbox{det}(A) \neq 0.

    Possiamo allora concludere che A è invertibile e indicare con A^{-1} la sua inversa.

    Espressione dell'inversa

    Per ricavare l'espressione della matrice inversa di A riprendiamo la relazione (\star)

    \mbox{Id}_2=A \left(-A-\mbox{Id}_2\right)

    e moltiplichiamone entrambi i membri a sinistra per A^{-1}

    A^{-1} \mbox{Id}_2=A^{-1} A \left(-A-\mbox{Id}_2\right)

    Il prodotto tra una matrice e la sua inversa restituisce la matrice identità che, tra l'altro, è l'elemento neutro del prodotto tra matrici, quindi

    \underbrace{A^{-1} \mbox{Id}_2}_{A^{-1}}=\underbrace{A^{-1} A}_{\mbox{Id}_2} \left(-A-\mbox{Id}_2\right)

    In definitiva

    A^{-1} = -A-\mbox{Id}_2 = -(A+\mbox{Id}_2)

    Calcolo del determinante

    Il determinante di una matrice invertibile è pari al reciproco del determinante dell'inversa, per cui

    \mbox{det}(A)=\frac{1}{\mbox{det}\left(A^{-1}\right)} = \frac{1}{\mbox{det}\left[-(A+\mbox{Id}_2)\right]}

    Volendo potremmo fermarci qui, ma possiamo fare qualcos'altro.

    La somma matriciale A+\mbox{Id}_2 restituisce una matrice quadrata di ordine 2, e per la proprietà del determinante del prodotto di una matrice per uno scalare

    \\ \mbox{det}\left[-(A+\mbox{Id}_2)\right] = \mbox{det}\left[-1 \cdot (A+\mbox{Id}_2)\right] = \\ \\ = (-1)^2 \cdot \mbox{det}(A+\mbox{Id}_2) = \mbox{det}(A+\mbox{Id}_2)

    cosicché

    \mbox{det}(A)=\frac{1}{\mbox{det}\left[-(A+\mbox{Id}_2)\right]}=\frac{1}{\mbox{det}(A+\mbox{Id}_2)}

    Fine!

    Risposta di Galois
 
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