Soluzioni
  • Ciao Jumpy, un attimino e sono da te Laughing

    Risposta di Omega
  • Nel mentre ti dico che non mi sono dimenticato di te :) ma il problema è lungo...sto scrivendo la soluzione...

    Risposta di Omega
  • La prima osservazione riguarda il fatto che il trapezio considerato è isoscele, essendo un trapezio convesso inscritto in una semicirconfenza (semicirconferenza e non solo circonferenza, perché la base maggiore coincide con un diametro del cerchio).

    Disegna la figura e segui il mio ragionamento: chiamiamo AB=2r la base maggiore, AD=BC i due lati obliqui e CD la base minore.

    Tracciamo la diagonale AC, e chiamiamo x:=BAC l'ampiezza dell'angolo formato dalla diagonale e dalla base maggiore.

    Essendo il triangolo BAC inscritto in una semicirconferenza, è rettangolo in C: siamo a cavallo! Laughing

    Le relazioni trigonometriche sui triangoli rettangoli ci dicono che

    AC=AB\cdot \cos{(BAC)}=2r\cos{(x)}

    e che

    BC=AB\sin{(BAC)}=2r\sin{(x)}

    Se calcoliamo la semidifferenza tra le due basi, ad esempio HB (dove H è il piede dell'altezza tracciata a partire dal vertice C relativa alla base maggiore AB) ci siamo: a tal fine, calcoliamo la misura del cateto AH del triangolo rettangolo in H ACH:

    AH=AC\cos{(HAC)}=2r\cos{(x)}\cos{(x)}=2r\cos^2{(x)}

    Quindi

    HB=AB-AH=2r-2r\cos^2{(x)}=2r(1-\cos^2{(x)})=2r\sin^2{(x)}

    dove nell'ultima uguaglianza abbiamo applicato l'identità fondamentale della trigonometria.

    Osserviamo infine che

    DC=AB-2HB=2r-4r\sin^2{(x)}=2r(1-2\sin^2{(x)})

    Non resta che sostituire il tutto nell'equazione

    \frac{AD+DC+CB}{AB}=\frac{3}{2}

    cioè

    AD+DC+CB=3r

    cioè

    2BC+DC=3r

    e risolvere l'equazione Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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