Soluzioni
  • Dobbiamo verificare che il limite è infinito ossia

    \lim_{x\to \left(\frac{3}{2}\right)^{-}}\frac{1}{4x^2-9}=-\infty

    mediante la definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito.

    Fissiamo M>0 e impostiamo la disequazione

    f(x)<-M

    dove f(x)=\frac{1}{4x^2-9}.

    Il nostro intento è quello di determinare un intorno sinistro di x_0=\frac{3}{2} nel quale sussiste la disequazione. In termini matematici ciò si traduce nell'esistenza di un numero reale \delta>0 dipendente da M tale che se x\in Dom(f) soddisfa la condizione

    -\delta<x-\frac{3}{2}<0 \ \ \ \mbox{ allora }\ \ \ \frac{1}{4x^2-9}<-M \ \ \  

    Scriviamo quindi la disequazione fratta

    \frac{1}{4x^2-9}<-M

    e risolviamola tenendo conto del fatto che ci troviamo in un intorno sinistro sufficientemente piccolo di x_{0}=\frac{3}{2} nel quale x<\frac{3}{2} e il polinomio 4x^2-9 è negativo. Cambiamo i segni ad entrambi i membri

    -\frac{1}{4x^2-9}>M

    passiamo ai reciproci stando attenti a cambiare verso della disequazione

    -(4x^2-9)<\frac{1}{M}

    e infine cambiamo nuovamente segno

    4x^2-9>-\frac{1}{M}

    Isoliamo x al primo membro

    \\ 4x^2>9-\frac{1}{M} \\ \\ \\ x^2>\frac{1}{4}\left(9-\frac{1}{M}\right)

    e risolviamo la disequazione di secondo grado rispetto ad x

    x<-\sqrt{\frac{1}{4}\left(9-\frac{1}{M}\right)}\vee x>\sqrt{\frac{1}{4}\left(9-\frac{1}{M}\right)}

    Utilizziamo le proprietà delle radici sul prodotto per esprimere meglio il risultato

    x<-\frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}\vee x>\frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}

    A conti fatti siamo interessati alla seconda disequazione ossia

    x>\frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}

    perché è grazie ad essa che riusciremo a costruire l'intorno necessario a realizzare la definizione di limite. Sfruttando quest'ultima disequazione e la condizione x<\frac{3}{2} otteniamo la doppia disequazione

    \frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}<x<\frac{3}{2}

    da cui sottraendo i membri per \frac{3}{2}

    \frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}-\frac{3}{2}<x-\frac{3}{2}<0

    deduciamo che il valore di \delta che realizza la definizione di limite è

    \delta=-\frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}+\frac{3}{2}

    Osserviamo che il segno negativo è dovuto al fatto che nella definizione di limite \delta è una quantità positiva, mentre l'espressione

    \frac{1}{2}\sqrt{9-\frac{1}{M}}-\frac{3}{2}

    è negativa: in poche parole il segno negativo serve per concordare l'espressione trovata con il \delta.

    Risposta di Ifrit
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