Soluzioni
  • L'esercizio ci chiede di calcolare la dimensione e di esplicitare una base del sottospazio generato dalle colonne della matrice A, definita dal seguente prodotto matriciale

    A=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\end{pmatrix}

    con h\ \mbox{e} \ k numeri reali.

    Il primo passo prevede di svolgere il prodotto riga per colonna così da esplicitare le colonne di A

    A=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\\ 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =\begin{pmatrix}1\cdot 1+0\cdot h&&1\cdot 1+0\cdot h&&1\cdot 1+0\cdot k\\ 0\cdot 1+1\cdot h&&0\cdot 1+1\cdot h&&0\cdot 1+1\cdot k \\1\cdot 1+1\cdot h&&1\cdot 1+h\cdot 1&&1\cdot 1+1\cdot k\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\\ 1+h&1+h&1+k\end{pmatrix}

    Indicata con ^T l'operazione di trasposizione, le colonne di A sono quindi:

    \\ C_1=(1,h,1+h)^{T} \\ \\ C_2=(1,h,h+1)^{T} \\ \\ C_3=(1,k,1+k)^{T}

    e il loro spazio generato coincide con l'insieme di tutte le combinazioni lineari di C_1,C_2\ \mbox{e} \ C_3

    U=\mbox{Span}(C_1,C_2,C_3)=\left\{a_1C_1+a_2 C_2+a_3 C_3 \ : a_1,a_2,a_3\in\mathbb{R}\right\}

    Per definizione di sottospazio generato, i vettori C_1,C_2\ \mbox{e}\ C_3 generano il sottospazio U, però non è detto che siano linearmente indipendenti, per cui non possiamo dedurre che essi formino una base per il sottospazio.

    A conti fatti, quello che dobbiamo fare è estrarre una base dal sistema di generatori \left\{C_1,C_2,C_3\right\}: la strategia più comoda in questa circostanza prevede di usare il metodo di eliminazione di Gauss.

    Costruiamo la matrice avente per colonne i vettori C_1,C_2\ \mbox{e}\ C_3 (chiaramente otterremo la matrice A):

    A=\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\\ 1+h&1+h&1+k\end{pmatrix}

    e usiamo le mosse di Gauss per ricondurci a una matrice a gradini.

    Rimpiazziamo la terza riga con la differenza tra lei e la somma delle prime due righe

    \\ R_3\ \ \ \to \ \ \ R_3-(R_1+R_2)=(1+h,1+h,1+k)-[(1,1,1)+(h,h,k)]= \\ \\ =(1+h,1+h,1+k)-(1+h,1+h,1+k)=(0,0,0)

    (È evidente che la terza riga è combinazione lineare delle prime due.)

    A'=\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\\ 0&0&0\end{pmatrix}

    A questo punto, effettuiamo le seguenti considerazioni.

    Se h=k=0, la matrice A' diviene:

    A'=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}

    Essa è una matrice ridotta a scala in cui l'unico pivot è a'_{1,1}=1, pertanto il vettore colonna della matrice non ridotta A che corrisponde al vettore colonna che contiene il pivot costituisce una base del sottospazio, pertanto:

    \mathcal{B}_{U}=\{C_1\}=\left\{(1,h,1+h)^{T}\right\}=\left\{(1,0,1)^{T}\right\}

    Nota: nell'ultima coppia di parentesi graffe abbiamo semplicemente riscritto C_1 quando h=0.

    Poiché per definizione, la dimensione di un sottospazio è pari al numero di vettori che compongono una base, possiamo affermare che \mbox{dim}(U)=1.

    Il primo caso è andato. Consideriamo il secondo caso.

    Se h=0\ \mbox{e}\ k\ne 0, la matrice

    A'=\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\\ 0&0&0\end{pmatrix}=

    diviene

    =\begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&0&k\\ 0&0&0\end{pmatrix}

    Poiché k\ne 0, la matrice A' ha due pivot, l'elemento a'_{11}=1 e l'elemento a'_{13} che occupano rispettivamente la prima e la terza colonna.

    In accordo con la teoria, i vettori colonna della matrice A che corrispondono a quelli di {tex}A'{tex} che contengono i pivot costituiscono una base del sottospazio generato, pertanto:

    \mathcal{B}_{U}=\{C_1, C_3\}=\{(1,h,1+h)^{T},\ (1, k, 1+k)^{T}\}=

    Poiché stiamo considerando il caso in cui h=0\ \mbox{e} \ k\ne 0, pertanto la base si riscrive nella forma:

    =\{(1,0,1)^{T},\ (1,k,1+k)^{T}\}

    In questa circostanza la dimensione di U coincide con 2.

    Se h\ne 0, dobbiamo operare un ulteriore passo del metodo di Gauss: rimpiazziamo la seconda riga della matrice

    A'=\begin{pmatrix}1&1&1\\ h&h&k\\ 0&0&0\end{pmatrix}

    con quella che si ottiene sottraendo questa con la prima moltiplicata per h:

    \\ R_2\ \ \ \to \ \ \ R_2-hR_1=(h,h,k)-h(1,1,1)=\\ \\ =(h,h,k)-(h,h,h)=\\ \\ =(0,0,k-h)

    Passiamo quindi alla matrice

    A''=\begin{pmatrix}1&1&1\\ 0&0&k-h\\ 0&0&0\end{pmatrix}

    Esaminiamo singolarmente i casi:

    Se h=k, il termine k-h è uguale a zero, e in questa circostanza A'' è la matrice che ha un solo pivot nella prima colonna, pertanto

    \mathcal{B}_{U}=\left\{C_1\right\}

    e la dimensione di U è 1.

    Se h\ne k, la differenza k-h è diversa da zero. In questo caso, A'' ha due pivot: uno sulla prima e l'altro sulla terza colonna. Possiamo quindi affermare che una base dello spazio delle colonne di A è formata dalla prima e dalla terza colonna di A

    \mathcal{B}_{U}=\{C_1,C_3\}=\{(1,h,h+1)^{T}, \ (1,k,k+1)^{T}\}

    e la dimensione di U è 2.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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