Esercizio sul quadrato di un binomio e prodotti notevoli

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Ho bisogno di voi per risolvere un esercizio sul completamento del quadrato di binomio. In buona sostanza, mi vengono date 6 espressioni letterali a ognuno dei quali manca un termine: devo trovarlo in modo che il polinomio sia espresso come un quadrato di binomio.

 

Facendo riferimento alla regola per il quadrato di un binomio, completare i seguenti trinomi inserendo al posto dei puntini i monomi che li rendono quadrati di binomi.

 

1) x^2+2x+... ; 2) a^4-...+4 ; 3) (1)/(4)a^2x^4+ax^2+... ; 4) (4)/(9)x^8-...+(9)/(4)a^4 ; 5) ...+2xy^6z^3+(16)/(25)z^6 ; 6) 0,04x^2-0,12x y^3+...

 

Come si fanno? Grazie.

Domanda di FrancixD

 
Soluzioni

  • La regola che dobbiamo usare per risolvere l'esercizio è quella relativa al quadrato di un binomio, che rientra in particolare nella tabella dei prodotti notevoli. Naturalmente ci torneranno utili anche le proprietà delle potenze!

    Per determinare i termini mancanti dobbiamo ragionare sui due termini che vengono assegnati, e ricordarci la regola

    (A+B)^2 = A^2+2AB+B^2

    Prendiamoci il tempo necessario per analizzarla per bene: al secondo membro dell'uguaglianza compaiono:

    - il quadrato del primo termine, ossia A^2. Se è noto possiamo ricavare subito A!

    - Il doppio prodotto del primo termine per il secondo, vale a dire 2AB. Se è noto, dividiamolo per due così da ricavare il prodotto tra i due termini.

    - Il quadrato del secondo termine, cioè B^2. Se è noto possiamo determinare B!

    Sia chiaro che avremo bisogno di A e B per ricostruire il quadrato!

    1) x^2+2x+...

    La base del quadrato x^2 rappresenta il primo termine e vale x. Dividiamo per due 2x così da ricavare il prodotto tra il primo e il secondo termine

    x^2 → x ; 2x → x

    Dividendo il prodotto per il primo termine, ricaviamo il secondo: x:x = 1, dopodiché lo eleviamo al quadrato per ottenere il termine mancante

    x^2+2x+1

    Questo trinomio è il quadrato di x+1, infatti

    (x+1)^2 = x^2+2x+1

     

    2) a^4-...+4

    In questo caso l'esercizio fornisce il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo nonché il segno da attribuire al doppio prodotto. Dai due quadrati ricaviamo le basi

    a^4 = (a^2)^2 → a^2 ; 4 = 2^2 → 2

    Con le basi dei due quadrati, a^2 e 2, calcoliamo il doppio prodotto

    2·a^2·2 = 4a^2

    e lo riportiamo al posto dei puntini. Il trinomio è quindi

    a^4-4a^2+4

    ed è il quadrato di a^2-2, infatti

    (a^2-2)^2 = a^4-4a^2+4

     

    3) (1)/(4)a^2x^4+ax^2+...

    Dal primo quadrato ricaviamo il primo termine del binomio

    (1)/(4)a^2 x^4 = ((1)/(2)ax^2)^2 → (1)/(2)ax^2

    Dividiamo per 2 il monomio ax^2 così da ottenere il prodotto tra il primo e il secondo termine.

    ax^2:2 = (1)/(2)ax^2

    Se dividiamo l'ultimo monomio per il primo termine, ricaviamo il secondo

    (1)/(2)ax^2:((1)/(2)ax^2) = 1

    Deduciamo che il secondo termine è 1. Eleviamolo al quadrato e inseriamolo al posto dei punti, ottenendo il seguente trinomio

    (1)/(4)a^2x^4+ax^2+1

    che rappresenta il quadrato di

    (1)/(2)ax^2+1

    infatti

    ((1)/(2)ax^2+1)^2 = (1)/(4)a^2x^4+ax^2+1

     

    4) (4)/(9)x^8-...+(9)/(4)a^4

    In questo caso conosciamo il quadrato del primo termine e quello del secondo: ci manca il loro doppio prodotto. Calcoliamo i due termini

    (4)/(9)x^8 = ((2)/(3)x^4)^2 → (2)/(3)x^4 ; (9)/(4)a^4 = ((3)/(2)a^2)^2 → (3)/(2)a^2

    moltiplichiamoli tra loro

    (2)/(3)x^4·(3)/(2)a^2 = (2)/(3)·(3)/(2)a^2x^4 = a^2x^4

    e infine raddoppiamo il risultato

    2·a^2x^4 = 2a^2x^4

    Esso rappresenta il monomio che dobbiamo inserire al posto dei puntini e fa sì che

    (4)/(9)x^8-2a^2x^4+(9)/(4)a^4

    sia effettivamente un quadrato di binomio. Ecco la prova:

    ((2)/(3)x^4-(3)/(2)a^2)^2 = (4)/(9)x^8-2a^2x^4+(9)/(4)a^4

     

    5) ...+2x y^6z^3+(16)/(25)z^6

    Quello che manca è il quadrato del primo termine, mentre conosciamo sia il doppio prodotto, cioè 2xy^6z^3, sia il quadrato del secondo termine, ossia (16)/(25)z^6.

    Determiniamo il secondo termine

    (16)/(25)z^6 = ((4)/(5)z^3)^2 → (4)/(5)z^3

    e il prodotto tra il primo per il secondo: basta dividere il doppio prodotto per 2

    2xy^6z^3:2 = xy^6z^3

    Con i valori ottenuti, siamo in grado di calcolare il primo termine: basta dividere il prodotto per il secondo termine

    xy^6z^3:((4)/(5)z^3) = (1:(4)/(5))xy^6 = (5)/(4)xy^6

    Attenzione! Al posto dei puntini va inserito il quadrato del monomio che abbiamo ottenuto, ossia:

    ((5)/(4)xy^6)^2 = (25)/(16)x^2y^(12)

    di conseguenza il trinomio richiesto è

    (25)/(16)x^2y^(12)+2x y^6z^3+(16)/(25)z^6

    infatti

    ((5)/(4)xy^6+(4)/(5)z^3)^2 = (25)/(16)x^2y^(12)+2x y^6z^3+(16)/(25)z^6

     

    6) 0,04x^2-0,12x y^3+...

    Prima di procedere con l'esercizio, determiniamo le frazioni generatrici associate ai numeri decimali 0,04 e 0,12.

    La frazione generatrice di 0,04 è

    0,04 = (4)/(100) = (1)/(25)

    mentre la frazione generatrice di 0,12 è

    0,12 = (12)/(100) = (3)/(25)

    Riscriviamo l'esercizio con le frazioni al posto dei numeri decimali e risolviamolo!

    (1)/(25)x^2-(3)/(25)xy^3+...

    In questo caso conosciamo il quadrato del primo termine, (1)/(25)x^2, e il doppio prodotto, vale a dire -(3)/(25)xy^3

    Per ottenere il quadrato del secondo termine, svolgiamo i seguenti passaggi:

    - dal quadrato (1)/(25)x^2, ricaviamo il primo termine

    (1)/(25)x^2 = ((1)/(5)x)^2 → (1)/(5)x

    - dividiamo per due il doppio prodotto: il risultato coincide con il prodotto tra il primo e il secondo termine

    -(3)/(25)xy^3:2 = -(3)/(50)xy^3

    - calcoliamo il quoziente tra -(3)/(50)xy^3 e (1)/(5)x

    -(3)/(50)xy^3:((1)/(5)x) = -(3)/(50)·5y^3 = -(3)/(10)y^3

    Tale monomio rappresenta il secondo termine, ma attenzione! Al posto dei punti dobbiamo inserire il quadrato di questo termine

    (-(3)/(10)y^3)^2 = (9)/(100)y^6

    In conclusione, il trinomio richiesto è

    (1)/(25)x^2-(3)/(25)xy^3+(9)/(100)y^6

    infatti

    (1)/(25)x^2-(3)/(25)xy^3+(9)/(100)y^6 = ((1)/(5)x-(3)/(10)y^3)^2

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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