Soluzioni
  • Ciao Saretta90, arrivo a risponderti..:)

    Risposta di Omega
  • Per la decomposizione in Z_{7}[X] va benissimo calcolare le radici provando con tutti gli elementi di Z_{7} (che per fortuna non è \mathbb{Z}_{42}[X]: lì dovremmo comportarci in un altro modo...Laughing).

    In tutti gli altri casi, il mio consiglio è quello di cominciare col determinare una decomposizione in \mathbb{Z} e poi "salire": potrebbe infatti darsi che la decomposizione in irriducibili in \mathbb{Z}[X] vada bene anche per \mathbb{Q}[X] e per \mathbb{R}[X].

    In \mathbb{C}[X], essendo \mathbb{C} chiuso per il teorema fondamentale dell'Algebra, il discorso cambia. Partiamo da qui...

    In \mathbb{C}[X] possiamo determinare tutte le radici del polinomio considerato, e per farlo si tratta solamente di calcolare le quattro radici quarte di -5: dette esse c_i\mbox{ per }i=1,2,3,4, potremo decomporre il polinomio nella forma

    x^4+5=(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4)

    Se non hai dimestichezza con il calcolo delle radici di un numero complesso, fammelo sapere così ne parliamo nel seguito Wink

    Per quanto riguarda una decomposizione in \mathbb{Z}[X], tutte e sole le eventuali radici sono da cercare tra i divisori del termine di grado zero . Nel nostro caso, possiamo applicare il criterio di Eisentstein, che ci garantisce che il polinomio considerato è irriducibile.

    Successivamente, consideriamo una eventuale decomposizione in \mathbb{R}[X]  per il polinomio considerato: ci sono solo due possibilità, che possiamo scartare subito:

    1) il polinomio si decompone nel prodotto di quattro termini lineari;

    2) il polinomio si decompone nel prodotto di due termini quadratici

    (questo perché un qualsiasi polinomio di grado dispari in \mathbb{R}[X] ammette almeno una radice )

    Nel nostro caso è facile vedere che non si verifica né l'una né l'altra eventualità: il polinomio è irriducibile in \mathbb{R}[X] e quindi anche in \mathbb{Q}[X].

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie 1000 =)... per quanto riguarda il calcolo delle radici nel complesso mi potrebbe chiarire come si fa?

    Risposta di saretta90
  • NO, TI PREGO IL "LEI" NOOOOOOOOOOOOOOOOO! LaughingLaughingLaughingLaughingLaughingLaughing

    (Scherzo, ma non troppo: ho 26 anni... :p )

    Per determinare n radici n-esime di un numero complesso z si procede secondo la seguente scaletta (parlo in termini generici perché applicarlo direttamente senza dare una linea guida non avrebbe la minima utilità per te; poi, se vuoi e/o se non riesci dimmelo che posto il procedimento)...

    1) Il numero complesso z è assegnato in forma algebrica, cioè nella forma

    z=a+ib

    dove a,b sono rispettivamente parte reale e parte immaginaria (nel caso di -5 non c'è la parte immaginaria);

    dobbiamo portarlo in forma trigonometrica, cioè nella forma

    z=\rho(\cos{(\theta)}+i\sin{(\theta)})

    dove \rho,\theta sono rispettivamente modulo e argomento di z, e si calcolano come:

    z=\sqrt{a^2+b^2}

    per l'argomento invece si procede come descritto nella lezione del link.

    2) Si determinano le n radici n-esime con la formula per le radici di un numero complesso.

    ---

    Se vuoi vedere un po' di esempi svolti, fai qualche ricerca con l'apposita barra che trovi in cima ad ogni pagina: che io mi ricordi, ne abbiamo svolti almeno...millemila Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille!!! mi hai proprio risolto dei dubbi.... se avrò altre lacune nn esiterò nel chiederti!!!!!Smile

    Risposta di saretta90
 
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