Immagine di una funzione logaritmica

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Ciao, dovendo determinare l'immagine della seguente funzione logaritmica come dovrei procedere? Qual è il metodo migliore e più veloce per trovare l'immagine?

 

f(x)=x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)

Domanda di saso03

 
Soluzioni

  • Ciao Saso03, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Ci sono due modi di procedere: entrambi sono metodi analitici, e in particolare il primo consiste nel tracciare il grafico della funzione e dedurre da lì l'immagine; l'altro, che è un po' più divertente, consiste nell'addurre considerazioni qualitative dirette che permettono di determinare l'immagine senza troppi conti (e che di contro funziona solamente con funzioni dall'espressione analitica semplice come quella considerata).

    Lascio a te la scelta: quale scegli? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Io praticamente ho fatto la f^-1(x) che quindi è sbagliato? Il secondo caso che dici in che modo dovrei procedere?
    Risposta di saso03

  • Determinare la funzione inversa f^{-1} e quindi individuare l'immagine come

    Im(f)=Dom(f^{-1})

    è un buon metodo per procedere, se non fosse che ha un difetto: richiede di sapere se la funzione è invertibile oppure no, e questo non è affatto da dare per scontato! :)

    L'unico metodo infallibile al 200% consiste nello studio della funzione e quindi nel tracciarne il grafico (ne parliamo nelle lezioni sulle "Funzioni da R a R in generale").

    Il secondo metodo prevede di ridurre all'osso lo studio della funzione e di ricavare solamente le informazioni strettamente necessarie per determinare l'immagine. Nel nostro caso...

    1) La funzione ha dominio Dom(f)=(-\infty,-1)\cup (0,+\infty);

    2) La funzione è continua su tutto il suo dominio

    3) 

    \lim_{x\to -\infty}{f(x)}=1^{+}

    \lim_{x\to (-1)^-}{f(x)}=+\infty

    \lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}=0^{+}

    \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=1^{-}

    4) La funzione è monotona strettamente crescente sugli intervalli (-\infty,-1) e sull'intervallo (0,+\infty).

    In conclusione

    ------> Im(f)=(0,1)\cup (1,+\infty)

    estremi esclusi, naturalmente...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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